Question

已知數列前n項的和為S_n，且有S_n+1=kS_n+2  (n∈N^*)，a₁=2，a₂=1.

（1）試證明：數列是等比數列，并求a_n；

（2），不等式恒成立，求正整數t的值；

（3）試判斷：數列中任意兩項的和在不在數列中？請證明你的判斷。

Answer 1

解：（1）由S_n+1=kS_n+2  (n∈N^*)，a₁=2，a₂=1，令n=1得k=  ………1分

∴S_n+1=S_n+2，即S_n+1-4=(S_n-4)，                 ………………………2分

因為S₁-4=-2，∴是等比數列                ………………………3分

∴S_n-4=(-2) ()^n-1即S_n=4[1-()ⁿ]，從而求得a_n=()^n-2          ………………5分

（2）由得即

化簡得：即……7分

∵∴

∴                           ………………………9分

∵a_n=()^n-2 ，S_n=4[1-()ⁿ] ∴

即對都成立，則…10分

易得關于n遞減，關于n遞增           ……………………11分

∴n=1時它們分別取得最大與最小，從而有即

∴t=3或4時成立。                                  ……………………12分

（3）不在。                                        ……………………13分

假設存在兩項a_m,a_n的和在此數列中，設為第k項，即a_m+a_n=a_k(m,n,k互不相等)                                          

∵a_n=()^n-2是關于n單調遞減，∴不妨設k<m<n則有()^m-2+()^n-2=()^k-2（*）

（*）式兩邊同乘以2^n-2，則有顯然這是不可能成立的。………16分