Question

已知函數y=f(x)對任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x＞0時，f(x)＜0,f(1)=- .

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調性；

（2）求f(x)在［-3，3］上的最值.

Answer 1

（1）證明見解析（2）f(x)在［-3，3］上最大值為2，最小值為-2

解析:

（1）f(x)在R上是單調遞減函數

證明如下：

令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0,

∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).又∵x＞0時，f(x)＜0,

∴f(x₂-x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁).由定義可知f(x)在R上為單調遞減函數.

（2）∵f(x)在R上是減函數，

∴f（x）在［-3，3］上也是減函數.

∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2.

∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值為2，最小值為-2.