Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，當n≥1時，S_n+1是a_n+1與S_n+1+2的等比中項．
（Ⅰ）求證：當n≥1時，

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

；
（Ⅱ）設a₁=-1，求S_n的表達式；
（Ⅲ）設a₁=-1，且{

n

(pn+q)Sn

}是等差數列（pq≠0），求證：

p

q

是常數．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)，整理即可證明
（2）由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1，結合等差數列的通項公式即可求解
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差數列，結合等差數列的性質即可證明

解答：（1）證明：由題意得，當n≥1時，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

．…（4分）
（2）解：由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1
可知：數列{

1

Sn

}是以-1為首項，以-

1

2

為公差的等差數列，
可求得：Sn=-

2

n+1

．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差數列，設公差為d．
則-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），
所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以

p

q

=1（常數）．…（13分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列的通項公式求解數列的通項公式及等差數列的通項公式的應用．