【題目】已知
為橢圓
上的三個點，
為坐標原點.
（1）若
所在的直線方程為
，求
的長；
（2）設
為線段
上一點，且
，當
中點恰為點
時，判斷
的面積是否為常數，并說明理由.
【答案】（1）
;（2）定值為
【解析】
試題（1）因為求
所在的直線方程為
與橢圓方程
相交所得的弦長.一般是通過聯立兩方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據兩點的距離公式求出弦長.
（2）直線與圓的位置關系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當斜率存在時，通過聯立方程，應用韋達定理知識，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據
的關系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結論.
試題解析：（1）由
得
，
解得
或
，
所以
兩點的坐標為
和
所以.
（2）①若
是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則
，
因為
，
在線段
上，所以
，求得
，
所以
的面積等于
.
②若B不是橢圓的左、右頂點，設
，
，
由
得
，
，
所以，
的中點
的坐標為
，
所以
，代入橢圓方程，化簡得
.
計算
.
因為點
到
的距離
所以，
的面積
.
綜上，
面積為常數.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱長為1的正方體
中，
分別為棱
的中點.
為面對角線
上任一點，則下列說法正確的是（ ）
A.平面
內存在直線與
平行
B.平面截正方體所得截面面積為
C.直線
和
所成角可能為60°
D.直線和所成角可能為30°
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
的前n項和為
,已知
,
,
.
(1)證明:
為等比數列,求出的通項公式;
(2)若
,求
的前n項和
,并判斷是否存在正整數n使得
成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點
，且焦點為F，直線l與拋物線相交于A，B兩點．
⑴求拋物線C的方程，并求其準線方程；
⑵
為坐標原點.若
，證明直線l必過一定點，并求出該定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于曲線
，給出下列四個結論：
①曲線C關于原點對稱，但不關于x軸、y軸對稱；
②曲線C恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；
③曲線C上任意一點都不在圓
的內部；
④曲線C上任意一點到原點的距離都不大于
．
其中，正確結論的序號是________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數 | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
(1)求出表中M，p及圖中a的值；
(2)若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10,15)內的人數；
(3)估計這次學生參加社區服務人數的眾數、中位數以及平均數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地某所高中 2019 年的高考考生人數是 2016 年高考考生人數的 1.5 倍，為了更好地對比該校考生的升學情況，統計了該校 2016 年和 2019年的高考升學情況，得到柱圖：
2016年高考數據統計 2019年高考數據統計
則下列結論正確的是（ ）
A.與2016年相比，2019年一本達線人數有所增加
B.與2016年相比，2019年二本達線人數增加了0.5倍
C.與2016年相比，2019年藝體達線人數相同
D.與2016年相比，2019年不上線的人數有所增加
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，直線
：
與以原點為圓心，以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
為左頂點，過點
的直線交橢圓于
，兩點，直線
，
分別交直線
于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）以線段
為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.
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