Question

已知函數f(x)=

sinx

x

，下列命題正確的是

②④

．（寫出所有正確命題的序號）
①f（x）是奇函數
②對定義域內任意x，f（x）＜1恒成立；
③當x=

3

2

π時，f（x）取得極小值；
④f（2）＞f（3）
⑤當x＞0時，若方程|f（x）|=k有且僅有兩個不同的實數解α，β（α＞β）則β•cosα=-α•sinβ

Answer 1

分析：判斷出函數的奇偶性，可判斷①，求出函數的值域，可判斷②；判斷出函數的極值點，可判斷③；利用函數的單調性，比較兩個函數值，可判斷④，數形結合分析出βcosα=-sinβ，可判斷⑤．

解答：解：①函數的定義域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=

sin(-x)

-x

=

sinx

x

=f（x），∴f（x）是偶函數，故①錯誤；
②∵根據三角函數線的定義知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，∵x≠0，∴

sinx

x

＜1成立，故②正確；
③∵f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，∵f′（

3π

2

）=

4

9π2

≠0，∴x=

3π

2

 不是極值點，∴③錯誤；
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，∴④正確；
⑤
因為|

sinx

x

|=k（ x＞0）有且僅有兩個不同的根α，β，所以，k＞0 
因為x＞0時，y=sinx為周期函數，y=x為增函數
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因為，α＞β 
所以，α必為y=f（x）在（π，2π）取最大值時x的值，
π＜x＜2π時，f（x）=|

sinx

x

|=-

sinx

x

f'（x）=

-xcosx+sinx

x2

，令f'（x）=0，
則αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β為方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，

sinβ

β

=k
所以，

sinβ

β

=-cosα
即：βcosα=-sinβ，故⑤錯誤
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的奇偶性，值域，極值，單調性是三角函數圖象和性質的綜合應用，難度較大．