Question

已知A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右頂點，B（2，0），過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M，N，交直線x=4于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數列，R和Q是橢圓上的兩動點，R和Q的橫坐標之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點
（1）求橢圓C的方程；
（2）求三角形MNT的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設知a=2，b=

3

．由此能求出橢圓C的方程．
（2）由點差法知PQ的中垂線交x軸于T(

1

4

，0)，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1與橢圓聯立可得（3m²+4）y²+6my-9=，0|y1-y2|2=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

，由此能求出三角形MNT的面積的最大值．

解答：解：（1）由題設知a=2，b=

3

橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由點差法知PQ的中垂線交x軸于T(

1

4

，0)
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1與橢圓聯立可得（3m²+4）y²+6my-9=0|y1-y2|2=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

令t=m²+1≥1，則|y1-y2|2=144

t

(3t+1)2

=144

1

9t+ 1 t +6

≤9
故Smax=

1

2

×

3

4

×3=

9

8

點評：本題考查橢圓C的方程，求△MNT的面積的最大值．解題時要認真審題，仔細解答，注意橢圓性質的合理運用．