Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知Sn=

n 2   +3n

2

，數(shù)列{b_n}滿足(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)且b₂=4，b₅=32．
（1）分別求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)P=

n2

4

+24n-

7

12

，(n∈N*)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，試判斷方程T_n-P=2013是否有解，若有請(qǐng)求出方程的解，若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；確定{b_n}為等比數(shù)列，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分n為偶數(shù)與奇數(shù)，利用分組求和法，分別求和，可得結(jié)論；
（3）確定n≥5時(shí)，f（n）=T_n-P單調(diào)遞增，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，所以a_n=n+1（n≥2）
又n=1時(shí)，n+1=2=a₁，所以an=n+1(n∈N*)…（2分）
因?yàn)?span id="l8z2aor" class="MathJye">(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)，所以{b_n}為等比數(shù)列                              …（3分）
又b₂=4，b₅=32，所以公比為2，首項(xiàng)為2，所以bn=2n(n∈N*)…（4分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=(2+4+…+n)+(22+24+…+2n)=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)…（6分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，Tn+1=

(n+1)2+2(n+1)

4

+

4

3

(2n+1-1)=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n+1-1)
所以Tn=Tn+1-Cn+1=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n+1-1)-2n+1=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)…（8分）
即Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n為偶數(shù) n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n為奇數(shù)

…（9分）
（3）設(shè)f(n)=Tn-P=

n2

4

+n+

3

4

+

2n+1

3

-

4

3

-

n2

4

-24n+

7

12

=

2n+1

3

-23n…（10分）
∴f(n+2)-f(n)=

2n+3

3

-23(n+2)-(

2n+1

3

-23n)=2n+1-46…（11分）
∴當(dāng)x≥5時(shí)，f（n+2）-f（n）=2ⁿ⁺¹-46＞0，此時(shí)f（n）單調(diào)遞增．
又f(5)=

26

3

-23×5=

64

3

-115＜0，f(11)=

212

3

-23×11=

4096

3

-253＜2013，f(13)=

214

3

-23×13=

16384

3

-299＞2013…（13分）
所以原方程無解．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握數(shù)列的求和方法是關(guān)鍵．