Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，為的中點，為的中點，點在線段上，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求證：平面；

（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可證平面，從而得出，由及為的中點，推出，即可得證平面；（Ⅱ）依題意，平面，，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，得出，，，，，，，由為平面的一個法向量，再根據，即可得出，從而得證；(Ⅲ) 求出平面的一個法向量，設與平面所成角為，根據，即可求出與平面所成角的正弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵平面，平面，

∴.

∵，，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，為的中點，

∴.

∵，

∴平面.

（Ⅱ）證明：依題意，平面，，如圖，

以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.

可得，，，，，，.

∵平面的一個法向量，，

∴，即.

∵平面，

∴平面.

（Ⅲ）解：設平面的法向量為，則，.

由，，得

令，得，，即.

設與平面所成角為，

∵，

∴.

∴與平面所成角的正弦值為.