Question

在數列{a_n}中a₁=1，當n≥2時，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比數列．
（1）證明：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（2）求數列{

1

(1-2n)an

}前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

代入已知條件中，可得S_n與S_n-1的關系，
要證明數列{

1

Sn

}為等差數列，由定義只需證明

1

Sn

-

1

Sn-1

為常數d
（2）由（1）可求S_n及a_n，從而求出數列{

1

(1-2n)an

}的通項，，然后利用等差數列的和求出T_n

解答：解：（1）∵an，Sn，Sn-

1

2

成等比數列，
∴Sn2=an•(Sn-

1

2

)(n≥2)，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又∴{

1

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數列．（4分）
又（2）由（1）知

1

Sn

=2n-1，∴Sn=

1

2n-1

，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

2

(2n-1)(2n-3)

又∴an=

1(n=1) - 2 (2n-3)(2n-1) (n＞1)

又當n≥2時，

1

(1-2n)an

=

2n-3

2

又當n=1時，T_n=-1滿足上式，∴Tn=-1+

(n-1)2

2

(n∈N*)（14分）

點評：等差數列與等比數列是高考中所考查的數列試題的基本類型，此試題主要考查利用等差數列的定義證明等差數列，還要注意構造特殊數列的方法；另外，由遞推公式求通項的應用也是本題的一個重點，求解中要注意應用定義，靈活構造．