Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點，且點M、N關于直線x+y=0對稱，動點P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區域的內部及邊界上運動，則
（1）不等式組所確定的平面區域的面積為1；
（2）使得目標函數z=b-a取得最大值的最優解有且僅有一個；
（3）目標函數ω=

b-2

a-1

的取值范圍是[-2，2]；
（4）目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
上述說法中正確的是

（1）（4）

（寫出所有正確選項）

Answer 1

分析：由M與N關于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到k的值；設出M與N的坐標，然后聯立y=x+1與圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理得到兩橫坐標之和的關于m的關系式，再根據MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于-1，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數軸上畫出相應的平面區域，求出面積及相應的目標函數的最值即得．如對于（3），先由條件求出k=1，m=-1，再畫出對應的平面區域，把ω=

b-2

a-1

看成平面區域內的點與（1，2）連線的斜率，利用圖形可得結論．

解答：解：∵M、N兩點，關于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變為

x-y+2≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區域，
（1）△AOB為不等式所表示的平面區域，
聯立

y=-x y=x+2

解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-1|=1．
故（1）正確；
（2）作出目標函數z=b-a平行的直線，將其平移
當直線z=b-a過直線x-y+2=0上的任一點時，z最大，
故（2）錯；
（3）如圖
又因為ω=

b-2

a-1

表示點P（a，b）與點（1，2）連線的斜率．
故當過點B（-1，1）時，ω=

b-2

a-1

取最小值-

1

2

．
當過O（0，0）時，ω=

b-2

a-1

取最大值2．
故答案為：[-

1

2

，2]．故（3）錯；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示區域內的點N到點M（0，1）的距離的平方，
由圖得：只有當過M作直線x+y=0的垂線時，M（0，1）到平面區域內任一點的距離才最小．
而M與直線x+y=0的距離為：d=

|0+1|

12+12

=

1

2

．
∴|d|²=

1

2

．即目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
故（4）正確．
故答案為：（1），（4）．

點評：本題是簡單的線性規劃與直線和直線以及直線與圓的位置關系的一道綜合題，是對知識的綜合考查．利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點與（1，2）的斜率ω=

b-2

a-1

的取值范圍．