Question

已知拋物線E：x²=4y，直線l過點M（0，2）且與拋物線交于A、B兩點，直線OA、OB分別與拋物線的準線l₀交于C、D．
（1）若點P是拋物線y=

1

6

x2+

1

2

上任意一點，點P在直線l₀上的射影為Q，求證：PQ=PM；
（2）求證：

OA

•

OB

為定值；
（3）求CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，

1

6

x02+

1

2

），拋物線E：x²=4y的準線方程l₀為y=-1．由點P在直線l₀上的射影為Q，知PQ=

1

6

x02+

3

2

，由M（0，2），知PM=

(x0-0)2+( 1 6 x02- 3 2 )2

=

1

6

x02+

3

2

，由此能夠證明PQ=PM．
（2）由題設知直線AB的斜率一定存在，設AB：y=kx+2，由

x2=4y y=kx+2

，得x²-4kx-8=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，由此能夠證明

OA

•

OB

為定值．
（3）由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），C，D都在直線l₀：y=-1上，知C(-

x2

y2

，-1)，D（-

x1

y1

，-1），故CD=|

x2

y2

-

x1

y1

|=

|x2y1-x1y2|

y1y2

=

|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|

4

=

|x1-x2|

2

，由此能求出CD的最小值．

解答：解：（1）∵點P是拋物線y=

1

6

x2+

1

2

上任意一點，
∴設P（x₀，

1

6

x02+

1

2

），
拋物線E：x²=4y的準線方程l₀為y=-1．
∵點P在直線l₀上的射影為Q，
∴PQ=

1

6

x02+

3

2

，
∵M（0，2），∴PM=

(x0-0)2+( 1 6 x02- 3 2 )2

=

1

6

x02+

3

2

，
∴PQ=PM．
（2）證明：由題設知直線AB的斜率一定存在，設AB：y=kx+2，
由

x2=4y y=kx+2

，得x²-4kx-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-8+4=-4．
故

OA

•

OB

為定值-4．
（3）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），
∴直線AO：

y

x

=

y1

x1

，直線BO：

y

x

=

y2

x2

，
∵C，D都在直線l₀：y=-1上，
∴C(-

x2

y2

，-1)，D（-

x1

y1

，-1），
∴CD=|

x2

y2

-

x1

y1

|=

|x2y1-x1y2|

y1y2

=

|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|

4

=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

16k2+32

2

=2

k2+2

，
∴當k=0時，CD取最小值2

2

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．