Question

如圖所示光滑水平面有一長木板其質量為m_A=1kg，長木板兩端有兩小物塊．其質量分別為m_B=2kg，m_c=5kg，已知B與A之間、C與A之間的動摩擦因數均為μ=O.5，現物塊C以初速度V．=8m/s向左運動，最終物體C恰好沒有與B相碰（g=10m/s²，B、C均可看成質點）
（1）在此過程中A的最大速度是多大？
（2）此過程中內能增加了多少？
（3）為使B、C不相撞，木板的長度至少為多長？

Answer 1

分析：（1）通過A、B對長木板摩擦力的大小比較，確定長木板A是否和B一起做加速運動，分別求得A與C的加速度，計算出A的最大速度；
（2）最終三者的共同速度由動量守恒求得共同的速度，內能的增加量等于系統減少的動能；
（3）結合牛頓第二定律和運動學公式求出C與長木板相對靜止時，它們的相對位移的大小；全過程中A與B的相對位移，為使B、C不相撞，木板的最小長度為B、C相對A的位移的和．

解答：解：（1）C的加速度為a_c=μg=5 m/s²；
若A、B之間不滑動，則A、B一起加速運動，加速度為aAB=

μmCg

mA+mB

=

0.5×5×10

1+2

=

25

3

＞μg=5
故假設不成立，即A、B之間存在相對滑動．這樣A的加速度aA=

μg(mC-mB)

mA

=

0.5×10×(5-2)

1

m/s2=15m/s²，方向向右；
B的加速度為a_B=μg=5m/s²，方向向右；
設A、C經過時間t后速度均變為v，則v=8-5t=15t，所以t=0.4 s；此時的速度即為A的最大速度，故v=6 m/s；
（2）最終三者的共同速度由動量守恒m_cv₀=（m_A+m_B+m_C）v
可得：v=5 m/s，
故內能的增加量為△E=

1

2

m_Cv₀²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v²=60J；
（3）首先是C與A的相對滑動，A、C之間相對滑動的距離s_CA=s_C-s_A=v₀t-

1

2

a_Ct²-

1

2

a_At²=1.6 m；
此時A、C不再相對滑動，
當A與C相對靜止后，B與A仍有相對滑動，B與A的總的相對滑動距離可由能量守恒求得：
Q=μm_Bgs_AB+μm_Cgs_AC=60得：s_AB=2 m；
所以木板的最小長度為L=s_AB+s_AC=3.6 m
答：（1）在此過程中A的最大速度是6m/s；
（2）此過程中內能增加了60J；
（3）為使B、C不相撞，木板的長度至少為3.6m．

點評：解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，結合牛頓第二定律和運動學公式，以及動量守恒定律進行求解．該題的過程多，難度大．