Question

（2013?湖南模擬）2005年10月12日9時，“神舟六號”飛船發射升空，飛船按預定軌道在太空飛行四天零十九小時32分（用t表示），環繞地球77圈（用n表示）．“神舟六號”運行過程中由于受大氣阻力和地球引力的影響，飛船飛行軌道會逐漸下降．為確保正常運行，“神舟六號”飛船飛行到第30圈時，對飛船進行了一次精確的“軌道維持”（通過發動機向后噴氣，利用反沖校準軌道）．設總質量為m的“神舟六號”飛船的預定圓形軌道高度為h，當其實際運行高度比預定軌道高度低了△h時，控制中心開始啟動軌道維持程序，開動小動量發動機，經時間△t后，飛船恰好重新進入預定軌道平穩飛行．地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求“神舟六號”軌道離地面高度h的表達式（用題中所給的數據表示）；
（2）已知質量為m的物體在地球附近的萬有引力勢能Ep=-

R2mg

r

（以無窮遠處引力勢能為零，r表示物體到地心的距離），忽略在軌道維持過程中空氣阻力對飛船的影響，求在軌道維持過程中，小動量發動機的平均功率P的表達式（軌道離地面高度為h不用代入（1）問中求得的結果）．

Answer 1

分析：（1）飛船繞地球做圓周運動時，由地球的萬有引力提供向心力，物體在地球表面時，地球的萬有引力等于物體的重力，分別對飛船在軌道上運動和物體在地球表面的情況，根據萬有引力定律和向心力公式列式即可求出h．
（2）由萬有引力提供向心力，求出飛船在h高度和h-△h高度時運行速度，根據能量守恒定律求發動機的平均功率P．

解答：解：（1）飛船繞地球做圓周運動時，由萬有引力提供向心力，則得

GMm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

  ①
而 T=

t

n

 ②
在地球表面上，有 mg=G

Mm

R2

  ③
由①②③得h=

3	gR2t2 4n2π2

-R
（2）由萬有引力提供向心力，得
 

GMm

(R+h)2

=m

v12

R+h

 

GMm

(R+h-△h)2

=m

v22

R+h-△h

由能量守恒知  P△t=(

1

2

mv12-

R2mg

R+h

)-(

1

2

mv22-

R2mg

R+h-△h

)
∴P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)
答：
（1）“神舟六號”軌道離地面高度h的表達式為h=

3	gR2t2 4n2π2

-R．
（2）在軌道維持過程中，小動量發動機的平均功率P的表達式為P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)．

點評：本題是衛星類型，建立清晰的運動圖景，根據萬有引力等于向心力，也等于重力進行求解．屬于常規問題．