Question

如圖甲所示，MN為一豎直放置的足夠大的熒光屏，O為它的中點，OO′與熒光屏垂直，且長度為l．在MN的左側O′O空間內存在著方向豎直向下的勻強電場，場強大小為E．乙圖是從甲圖的左側去看熒光屏得到的平面圖，在熒光屏上以O為原點建立如釁乙的直角坐標系．一細束質量為m、電荷為e的電子以相同的初速度v₀從O′點O′O方向射入電場區域．電子的重力和電子間的相互作用都可忽略不計．
（1）求電子打在熒光屏上亮點的位置坐標．
（2）若在MN左側O′O空間內再加一個勻強磁場，使得熒光屏上的亮點恰好位于原點O處，求這個磁場的感應強度B的大小和方向．
（3）如果保持（2）問中磁感應強度不變，但把電場撤去，粒子仍能達到熒光屏上，求熒光屏上的亮點的位置坐標及從O′到熒光屏所需要的時間（若sinθ=

c

d

，則θ可用反三角函數表示為θ=arsin

c

a

）．

Answer 1

分析：（1）電子在勻強電場中做類平拋運動，沿水平方向和豎直方向分解運動即可；
（2）亮點恰好位于原點O處，表明電子所受的電場力與洛倫茲力大小相等，寫出力的平衡方程，代入數據即可求得磁感應強度；
（3）只在磁場作用下，電子在O′Oy平面內做勻速圓周運動，畫出運動的軌跡，根據洛倫茲力提供向心力，求出半徑的表達式，再結合圖象，找出半徑對應的幾何關系，列出方程，即可解題．

解答：解：（1）電子沿O′O方向做勻速運動：l=v₀t…①
電子沿y軸方向做勻加速運動：y=

1

2

at2=

eEl2

2m v 2 0

…②
即亮點的位置坐標為：(0，

eEl2

2m v 2 0

)…③
（2）亮點恰好位于原點O處，表明電子所受的電場力與洛倫茲力大小相等，電子做勻速直線運動eE=ev₀B…④
解得  B=

E

v0

…⑤
由電場力以及左手定則判定磁場方向垂直紙面向里．
（3）只在磁場作用下，電子在O′Oy平面內做勻速圓周運動，軌跡如圖所示．設圓半徑為R，洛倫茲力提供向心力ev0B=

m v 2 0

R

…⑥

得：R=

mv0

eB

=

m v 2 0

eE

根據幾何關系R²-l²=（R-y）²…⑦
得y=R-

R2-l2

聯立⑥、⑦得：y=

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

…⑧
即亮點的位置坐標為(0，

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

)… ⑨
由圖可得：sinθ=

l

R

=

eEl

m v 2 0

，θ=arcsin

eEl

m v 2 0

…⑩
由圓周運動周期公式：T=

2πR

v0

…（11）
電子從O′到O的時間為：t=

θ

2π

T=

mv0

eE

arcsin

eEl

m v 2 0

答：（1）電子打在熒光屏上亮點的位置坐標(0，

eEl2

2m v 2 0

)．
（2）這個磁場的感應強度  B=

E

v0

磁場方向垂直紙面向里．
（3）熒光屏上的亮點的位置坐標 (0，

m v 2 0

eE

-

( m v 2 0 eE )2-l2

)，從O′到熒光屏所需要的時間t=

mv0

eE

arcsin

eEl

m v 2 0

．

點評：該題設置了三種不同的情景，第3問的難度較大，解題的關鍵是正確畫出運動的軌跡，找出半徑與l之間的關系．