Question

【題目】如圖所示的兩個圓形磁場可實現帶電粒子的匯聚與側移。在x-y軸直角坐標平面內，兩個圓形磁場Ⅰ、Ⅱ相切于坐標原點O，圓心均在y軸上，半徑均為R，磁感應強度大小相等，垂直于x-y軸直角坐標平面且方向相反。大量帶正電的粒子質量為m，帶電量為q，以平行于x軸的速度v沿x軸正方向進入磁場Ⅰ，經磁場偏轉后匯聚于坐標原點O并進入磁場Ⅱ，經磁場Ⅱ再次偏轉后以平行于x軸的方向離開磁場Ⅱ實現側移。在x軸下方有一平行于y軸的長度為R的粒子收集板PQ，Q點的坐標為（2R，-2R）。粒子打在收集板上被吸收不影響其他粒子的運動。不計粒子重力及粒子間的相互作用。

(1)求磁場Ⅰ的磁感應強度B的大小和方向；

(2)虛線MN平行于y軸且與磁場Ⅰ相切，經過MN上縱坐標為1.5R的點的粒子能否打在收集板上？若不能，請說明理由。若能，求其從MN到PQ的時間；

(3)假設收集板上端P點與x軸之間的距離d可在0與R之間變化，寫出從MN到PQ的粒子打在Q點的運動時間T1和打在P點時間T2關于d的關系式。（解題中涉及的角度可用余弦的反三角函數表示，如）

Answer 1

【答案】(1)，方向垂直x-y軸直角坐標平面向外；(2)能，；(3)

【解析】

(1)欲使帶電粒子匯聚于O點并實現側移，由幾何關系可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，根據

可得

方向垂直x-y軸直角坐標平面向外。

（2）粒子的運動軌跡如圖1所示，

由幾何關系可知，粒子在每個磁場中的運動圓心角θ均為，故粒子在磁場中的運動時間為

粒子在磁場外的運動時間為

所以粒子從MN到PQ的時間為

（3）當PQ上端P點與x軸的距離為d時，從MN到PQ的粒子打在Q點的粒子運動時間最長。打在Q點的粒子運動軌跡如圖2所示

O1和O2分別為其在磁場ⅠⅡ中做圓周運動的圓心，其在磁場中的軌跡關于O點對稱。過O2作O2K垂直X軸，在三角形O2KO中

則粒子在一個磁場中運動的圓心角

所以

從MN到PQ的粒子打在P點的粒子運動時間最短。打在P點的粒子運動軌跡如圖3所示，

O2為其在磁場Ⅱ中做圓周運動的圓心，在三角形O2KO中，粒了在一個磁場中運動的圓心角

則