Question

如圖所示，半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定一個半徑很小（可忽略）的金屬球，在小圓空間內存在沿半徑向內的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差為U，兩圓之間的空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場，設有一個帶負電的粒子從金屬球表面沿+x軸方向以很小的初速度逸出，粒子質量為m，電量為q，（不計粒子重力，忽略粒子初速度）求：
（1）粒子到達小圓周上時的速度為多大？
（2）粒子以（1）中的速度進入兩圓間的磁場中，當磁感應強度超過某一臨界值時，粒子將不能到達大圓周，求此最小值B．
（3）若磁感應強度取（2）中最小值，且b=（

2

+1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發點，粒子需經過多少次回旋？并求粒子在磁場中運動的時間．（設粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，通過末動能求出加速電壓的大小．
（2）根據洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出粒子在磁場中運動的軌道半徑的表達式，要使粒子不能到達大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切．
（3）根據題目給定的條件，畫出帶電粒子運動的軌跡，從而確定粒子在磁場中轉過φ=270°，然后沿半徑進入電場減速到達金屬球表面，再經電場加速原路返回磁場，如此重復，恰好經過4個回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發點．

解答：解：（1）粒子在電場中加速，根據動能定律得：qU=

1

2

mv2
所以：v=

2qU m

（2）粒子進入磁場后，受洛倫茲力做勻速圓周運動，有：
qBv=m

v2

r

要使粒子不能到達大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切，如圖，
則有：

a2+r2

=b-r
所以：r=

b2-a2

2b

聯立解得：B =

2b

b2-a2

2mU q

（3）圖中  tanθ=

r

a

=

b2-a2

2ab

=1即θ=45°                    

則粒子在磁場中轉過φ=270°，然后沿半徑進入電場減速到達金屬球表面，再經電場加速原路返回磁場，如此重復，恰好經過4個回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發點．         
因為    T=

2πm

Bq

將B代入，得粒子在磁場中運動時間為t=4×

3

4

T=

3π(b2-a2)

b

m 2qU

答：（1）粒子到達小圓周上時的速度為

2qU m

；
（2）當磁感應強度超過某一臨界值時，粒子將不能到達大圓周，求此最小值B =

2b

b2-a2

2mU q

；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發點，粒子需經過4次回旋；粒子在磁場中運動的時間

3π(b2-a2)

b

m 2qU

．

點評：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運動的問題，畫出軌跡，根據幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．