Question

如圖，有一固定長度的木板C放在光滑水平面上，木板上面放置可視為質點的木塊A、B，A、B、C的質量均相等．木塊A、B相距0.2m，放在木板上適當的位置，它們與木板間的動摩擦因數相同均為μ=0.2，兩物塊均在同一直線上，開始時都處于靜止狀態．某時刻同時使物體A、B分別以速度v₀₁=3m/s、v₀₂=1m/s向相反方向運動，g取10m/s²，如圖所示．問：
（1）在A、B同時運動的過程中，木板C的運動狀態應該怎樣？
（3）若A、B最終不滑離木板，最后它們的共同速度為多少？
（2）若要使A、B最終不滑離木板，木板C的長度至少為多少？

Answer 1

分析：A、B與木板間滑動摩擦力的大小相等，A、B木塊分別向左、向右做勻加速運動，A、B對木板C的摩擦力大小相同，方向相反．
由動量守恒定律求得最后它們的共同速度．
在F₁、F₂作用下分別求出A、B的加速度，進而求出撤去外力時AB的位移和速度，撤去這兩個力后，A、B的加速度大小相等，分別求出AB停止運動的時間，和運動的位移，根據位移之間的關系即可求解．

解答：解：（1）A、B與木板間滑動摩擦力的大小相等，A、B木塊分別向左、向右做勻加速運動，A、B對木板C的摩擦力大小相同，方向相反，
所以在A、B同時向相反方向運動的過程中，木板C保持靜止．   
（2）由動量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）   
（3）A、B的加速度大小相等，a_A=a_B=μg=2m/s²
B先相對于C靜止，運動時間t₁=

vB

aB

=0.5s，
此時A的速度，v_A1=v_A-a_A′t₁=2m/s    
這段時間C一直保持靜止狀態，A、B的位移分別為：sA=vAt -

1

2

aA

t

2

=

5

4

m
sB=

1

2

vBt=

1

4

m
以后B相對于木板靜止，A繼續減速運動，木板的加速度：
a_c=

μmAg

mB+mC

=1（m/s）  
設此后A與木板的相對運動時間為t₂，
v_A1-a_A′t₂=a_ct₂
t₂=

2

3

（s）     
在t₂時間內，A與木板相對運動距離△s=

2

3

（m）
木板的最小長度 s=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）     
另一種方法：直接用動量守恒定律和能量轉化方程．
由動量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）
當B相對地速度為0后，BC一起向左加速，直至三者速度相等．
當v_B=0時，由動量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=mv₁+0
得：v₁=2m/s
因為

.

vB

=

1

2

（m/s），

.

vA

=

5

2

（m/s），
所以s₁=2 s₂
由能量關系得：

1

2

m(

v

2 01

+

v

2 02

)-

1

2

m

v

2 1

=μmg(s1+s2)
得：s₁=1.25（m），s₂=0.25（m）
BC相對靜止后，

1

2

m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2

=μmgs3
s₃=

2

3

（m）
L=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）
答：（1）在A、B同時運動的過程中，木板C保持靜止
（2）若A、B最終不滑離木板，最后它們的共同速度為

2

3

（m/s） 
（3）若要使A、B最終不滑離木板，木板C的長度至少為2.37（m）

點評：本題是相對運動的題目，要求同學們能正確分析物體的受力情況和運動情況，根據牛頓第二定律及運動學基本規律解題，難度較大．