Question

如圖所示，一帶電粒子從Y軸上的a點以平行于X軸的方向射入第一象限區域，射入的速度為v₀．帶電粒子的質量為m，帶負電，電荷量為q．為了使帶電粒子通過X軸上的b點，可在第一象限的某區域加一個沿Y軸正方向的勻強電場，電場強度為E，電場區域沿Y軸方向無限長，沿X方向的寬度為s．已知Oa=L，O_b=2s，不計帶電粒子的重力．
（1）若b點在電場內，要使粒子過b點，求該電場的左邊界與b點的距離．
（2）若b點在電場外，在第一象限緊挨電場右側加一個垂直于XOY平面的磁感應強度為B的勻強磁場，該磁場足夠大，使得粒子也能過b點且速度方向沿X軸正方向，求該電場的左邊界與b點的距離．

Answer 1

分析：（1）b點在電場內，帶電粒子進入電場，做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向受豎直向下的電場力作用做勻加速運動，根據運動學關系式解得結果；
（2）粒子的運動過程分為兩部分，在電場內做類平拋運動，進入磁場做勻速圓周運動，結合軌跡圖和運動規律，由幾何關系可求得電場的左邊界與b點的距離．

解答：解：（1）帶電粒子進入電場后沿X方向做勻速直線運動，沿Y方向做勻加速直線運動；
根據牛頓第二定律得，帶電粒子在電場中運動的加速度大小為：
a=

qE

m

 
帶電粒子進入電場后在X方向的位移為l，在Y方向的位移為L，如由圖所示：根據運動學規律，有

l=v₀t                     
L=

1

2

qE

m

t²                   
消去t，解得：
l=v₀

2mL qE

即該電場的左邊界與b點的距離為v₀

2mL qE

；
（2）分析可知，磁場方向應垂直XOY平面向外，粒子的運動軌跡如圖所示．

設粒子在磁場中的速率為v，運動半徑為R，則
由Bqv=

mv2

R

              
得R=

mv

qB

                
由幾何關系可知：
AC=Rsinθ              
所以l=s+AC=s+

mv

qB

sinθ
其中：sinθ=

at

v

=

qEs

mv0v

      
所以：l=s+

mv

qB

?

qEs

mv0v

=s+

Es

Bv0

；
答：（1）電場的左邊界與b點的距離v₀

2mL qE

；
（2）電場的左邊界與b點的距離s+

Es

Bv0

．

點評：解決本題的關鍵分析清楚粒子的運動規律，畫出軌跡圖，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．