Question

如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的虛線所圍的圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，在磁場右側有一豎直放置的平行金屬板M和N，兩板間距離為L，在MN板中央各有一個小孔O₂、O₃、O₁、O₂、O₃在同一水平直線上，與平行金屬板相接的是兩條豎直放置間距為L的足夠長的光滑金屬導軌，導體棒PQ與導軌接觸良好，與阻值為R的電陰形成閉合回路（導軌與導體棒的電阻不計），該回路處在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中，整個裝置處在真空室中，有一束電荷量為+q、質量為m的粒子流（重力不計），以速率v₀從圓形磁場邊界上的最低點E沿半徑方向射入圓形磁場區域，最后從小孔O₃射出．現釋放導體棒PQ，其下滑h后開始勻速運動，此后粒子恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場的最高點F射出．求：
（1）圓形磁場的磁感應強度B′．
（2）導體棒的質量M．
（3）棒下落h的整個過程中，電阻上產生的電熱．

Answer 1

分析：（1）粒子從E射入圓形磁場區域，從小孔O₃射出，在磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識求出半徑，再由牛頓第二定律求出B．
（2）粒子恰好不能從O₃射出時，到達O₃速度為零．根據能量守恒定律求出此時板間電壓．對導體棒，由平衡條件求出質量M．
（3）由于棒的電阻不計，導體棒兩端的電壓等于感應電動勢．根據E=BLv公式，求出棒勻速運動時的速度，由能量守恒定律求得電阻上產生的電熱．

解答：解：（1）在圓形磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力，由于粒子轉過

1

4

圓周，所以軌跡半徑等于圓形區域的半徑r．
由牛頓第二定律得
   qv 0B′=m?

v 2 0

r

得 B′=

m v   0

qr

（2）根據題意粒子恰好不能從O₃射出時到達O₃速度為零．則由能量守恒定律得
  

1

2

m

v

2 0

=qUPQ
PQ做勻速運動時，則有 Mg=B?

U

R

?L
由③④得M=

BLm

2gqR

v

2 0

（3）導體棒勻速運動時，速度大小為V_m，U_PQ=BLv_m
代入③中得：V m=

m v 2 0

2qBL

由能量守恒：QR=Mgh-

1

2

M

V

2 m

解得QR=

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

答：
（1）圓形磁場的磁感應強度B′為

mv0

qr

．
（2）導體棒的質量M為

BLm

2gqR

v

2 0

．
（3）棒下落h的整個過程中，電阻上產生的電熱為

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

．

點評：粒子在磁場中運動的問題，關鍵是確定軌跡半徑；導體棒導體切割類型，是電磁感應、電路與力學知識的綜合，從力和能兩個角度研究．