Question

【題目】2019年1月3日，嫦娥四號探測器成功著陸在月球背面，并通過“鵲橋”中繼衛星傳回了世界上第一張近距離拍攝月球背面的圖片。此次任務實現了人類探測器首次在月球背面軟著陸、首次在月球背面通過中繼衛星與地球通訊，因而開啟了人類探索月球的新篇章。

（1）為了盡可能減小著陸過程中月球對飛船的沖擊力，探測器在距月面非常近的距離h處才關閉發動機，此時速度相對月球表面豎直向下，大小為v，然后僅在月球重力作用下豎直下落，接觸月面時通過其上的“四條腿”緩沖，平穩地停在月面，緩沖時間為t，如圖1所示。已知月球表面附近的力加速度為，探測器質量為，求：

①探測器與月面接觸前瞬間相對月球表面的速度v的大小。

②月球對探測器的平均沖擊力F的大小。

（2）探測器在月球背面著陸的難度要比在月球正面著陸大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮擋，著陸前探測器將無法和地球之間實現通訊。2018年5月，我國發射了一顆名為“鵲橋”的中繼衛星，在地球和月球背面的探測器之間搭了一個“橋”，從而有效地解決了通訊的問題。為了實現通訊和節約能量，“鵲橋”的理想位置就是固繞“地一月”系統的一個拉格朗日點運動，如圖2所示。所謂“地一月”系統的拉格朗日點是指空間中的某個點，在該點放置一個質量很小的天體，該天體僅在地球和月球的萬有引力作用下保持與地球和月球敏相對位置不變。

①設地球質量為M，月球質量為m，地球中心和月球中心間的距離為L，月球繞地心運動，圖2中所示的拉格朗日點到月球球心的距離為r。推導并寫出r與M、m和L之間的關系式。

②地球和太陽組成的“日一地”系統同樣存在拉格朗日點，圖3為“日一地”系統示意圖，請在圖中太陽和地球所在直線上用符號“*”標記出幾個可能拉格朗日點的大概位置。

Answer 1

【答案】(1)①，②；(2)①，②

【解析】

(1)①由運動學公式得

②設平均沖擊力為F，以豎直向上為正方向，據動量定理得

解得

(2)①設在圖中的拉格朗日點有一質量為m′的物體（m′＜＜m），則月球對其的萬有引力

地球對其的萬有引力F2為

質量為m′的物體以地球為中心做圓周運動，向心力由F1和F2的合力提供，設圓周運動的角速度為ω，則

根據以上三個式子可得

月球繞地球做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，有

聯立以上兩式子可得

②對于“日-地系統”，在太陽和地球連線上共有3個可能的拉格朗日點，其大概位置如圖所示。