Question

（2011?雙流縣模擬）如圖1所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一、四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連續發射質量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子．在0～3t₀時間內兩板間加上如圖2所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時刻經極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）求：
（1）兩板間的電壓U₀．
（2）0～3t₀時間內射入兩板間的帶電粒子在磁場中運動的最短時間t．
（3）

1

2

t₀時刻射入兩板間的帶電粒子進入磁場和離開磁場時的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）首先求出電容器加有電壓時的電場強度，從而求出有電場時的加速度，把粒子的運動在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運動，后是勻速運動，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）帶電粒子在磁場中的運動時間最短，即為進入磁場時速度方向與y軸的夾角最小的情況，當在電場中偏轉的角度最大時，在磁場中的運動時間最短，畫出離子運動的軌跡圖，結合幾何知識即可求出最短時間．
（3），

1

2

t₀時刻進入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t₀時間在電場中偏轉，后

1

2

t₀時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動離開電場．根據運動學規律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出粒子進入磁場時的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場中做圓周運動的半徑，進而求出離開磁場時的位置坐標．

解答：（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做類平拋運動，t₀時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為

1

2

l，則有：
E=

U0

l

…①
Eq=ma…  ②

1

2

l=

1

2

at02…③
聯立解得兩極板間偏轉電壓為：U0=

ml2

qt02

              
（2）2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．
帶電粒帶電粒子離開磁場時沿y軸正方向的分速度為：v_y=at₀
設粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為α，則：tanα=

v0

vy

解得：α=

π

4

所以圓心角為：2α=

π

2

由牛頓運動定律得：qbv=m

v2

R

周期：T=

2πR

v

聯立求得最短時間為：t=

T

4

=

πm

2qB

（3）如上所述，

1

2

t₀時刻進入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t₀時間在電場中偏轉，后

1

2

t₀時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動離開電場．
由③式

1

2

a

t

2 0

=

1

2

l，則在前

1

2

t₀時間沿y軸方向的位移：

y

1

=

1

8

l
之后

1

2

t₀時間沿y軸方向的位移：

y

2

=2y1=

1

4

l
故帶電粒子與y軸相交的坐標為：y=-(

y

2

+y1)=-

3

8

l，即帶電粒子進入磁場時的位置坐標為：(0，-

3l

8

)設
帶電粒子離開電場時速度方向與y軸負方向的夾角為β，則：tanβ=

v0

vy

=

l t0

1 2 at0

=2
此后受到洛倫茲力向上偏轉，利用幾何關系可以求得帶電粒子進入磁場和離開磁場時的位置相距：△y=2Rsinβ=

4

5

R
又 帶電粒子離開電場時沿y軸負方向的分速度大小為：vy=a?

1

2

t0
帶電粒子離開電場時的速度大小為：v=

vx2+vy2

                 
設帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，則有：Bqv=m

v2

R

由以上各式解得：R=

5 ml

2qBt0

；                                     
 子沿x軸方向的分速度大小為：v0=

l

t0

          
故：△y=

4

5

R=

2ml

qBt0

，
因此帶電粒子離開磁場時的位置在y軸的坐標：
Y=△y+y=

2ml

qBt0

-

3l

8

，
即帶電粒子離開磁場時的位置坐標為：（0，

2ml

Bqt0

-

3l

8

）
答：（1）兩板間的電壓U₀為

ml2

qt02

．
（2）0～3t₀時間內射入兩板間的帶電粒子在磁場中運動的最短時間為

πm

2qB

．
（3）

1

2

t₀時刻射入兩板間的帶電粒子進入磁場和離開磁場時的位置坐標為（0，

2ml

Bqt0

-

3l

8

）．

點評：該題考查到的知識點較多，首先是考察到了離子在勻強電場中的偏轉，并且電場還是變化的，這就要求我們要有較強的過程分析能力，對物體的運動進行分段處理；還考察到了離子在勻強磁場中的偏轉，要熟練的會用半徑公式和周期公式解決問題；在解決粒子在有界磁場中的運動時間問題時，要注意偏轉角度與運動時間的關系，熟練的運用幾何知識解決問題．是一道難度較大的題．