Question

兩個(gè)帶電量均為+q的小球，質(zhì)量均為m，固定在輕質(zhì)絕緣等腰直角三角形框架OAB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B上，另一端點(diǎn)用光滑鉸鏈固定在O點(diǎn)，整個(gè)裝置可以繞垂直于紙面的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．直角三角形的直角邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．
（1）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，恰能使框架OB邊水平、OA邊豎直并保持靜止?fàn)顟B(tài)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E₁多大？在此電場(chǎng)中，框架能否停止在豎直平面內(nèi)其它位置？
（2）若改變勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向（電場(chǎng)仍與框架平行），為使框架的OB邊水平，A在O點(diǎn)的正下方，則所需施加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₂至少多大？方向如何？
（3）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₃=

2mg

q

，小球帶電量分別變?yōu)閝_A=+2q，q_B=+

5

2

q，其余條件不變．將框架從圖示位置由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦阻力，框架轉(zhuǎn)動(dòng)多少角度兩個(gè)小球速度最大？并求出最大速度．

Answer 1

（1）力矩平衡：qE₁L=mgL
解出E1=

mg

q

電場(chǎng)力剛好抵消重力，故三角形框架能停止在豎直平面內(nèi)任意位置．
（2）設(shè)E₂與豎直方向成α角向右斜向上，
力矩平衡：qE₂Lsinα+qE₂Lcosα=mgL
解出E2=

mg

q(sinα+cosα)

因此，E₂與豎直方向夾角為α=45°時(shí)，E₂最小，
E₂最小值E2min=

2 mg

2q

（3）設(shè)OB邊轉(zhuǎn)到與豎直方向成β角時(shí)，合力矩為零：
q_AE₃Lcosβ-mgLcosβ+mgLsinβ-q_BE₃Lsinβ=0
解出tanβ=

3

4

，β=37°
所以，框架轉(zhuǎn)動(dòng)90°+β=127°時(shí)，小球速度最大．
能量守恒定律：△E=△E_p+△E_k，
即：qAE3(L+Lsinβ)+qBE3Lcosβ=mg(L+Lsinβ)+mgLcosβ+2×

1

2

mvm2
解出vm=2

2gL

答：（1）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，恰能使框架OB邊水平、OA邊豎直并保持靜止?fàn)顟B(tài)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E₁為

mg

q

．在此電場(chǎng)中，三角形框架能停止在豎直平面內(nèi)任意位置．
（2）若改變勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向（電場(chǎng)仍與框架平行），為使框架的OB邊水平，A在O點(diǎn)的正下方，則所需施加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E₂至少為

2 mg

2q

，此時(shí)方向與豎直方向夾角為α=45°．
（3）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₃=

2mg

q

，小球帶電量分別變?yōu)閝_A=+2q，q_B=+

5

2

q，其余條件不變．將框架從圖示位置由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦阻力，框架轉(zhuǎn)動(dòng)127°兩個(gè)小球速度最大，最大速度為2

2gL

．