Question

（2009?德陽模擬）在光滑水平面上有兩個可視為質點的小球A、B，m_A=1kg，m_B=0.5kg在兩球間存在一有限區域：當兩小球均在該區域內或者任一小球在該區域內兩球間就有相互作用的恒定斥力F=1N，當兩小球均在該區域外時兩球間無作用力．A球離作用區左邊界S_A=20m，B在作用區右邊界處，作用區長度L=5.5m．現使A以初速度v_A=8m/s、B球以初速度v_B=2m/s相向運動．求：
（1）A從開始運動到完全穿過作用區所用時間
（2）適當調節作用區的寬度或作用力大小，可使A穿過作用區后A、B兩球的總動能最小，求A、B兩球的最小總動能．

Answer 1

分析：（1）A從開始運動到完全穿過作用區時，兩球間存在相互作用力，大小為F，A球做勻減速運動，B球做勻減速運動，根據牛頓第二定律可求得兩球的加速度大小．根據運動學公式求出B在作用區中運動的最遠距離．對B，運用動量定理求出B從進入作用區到穿出作用區的時間，運用運動學公式求出A運動勻減速運動的距離，再求解勻速運動的時間，分過程求解．
（2）要使A、B的動能之和最小，A穿過作用區后與B速度相等，即可求得A、B兩球的最小總動能．

解答：解：（1）B球受作用力的加速度為：a_B=

F

mB

=

1

0.5

m/s²=2m/s²
A球受作用力的加速度為：a_A=

F

mA

=

1

1

m/s²=1m/s²
B在作用區中運動的最遠距離為：S_m=

v 2 B

2aB

=

22

2×2

m=1m
B從進入作用區到穿出作用區用時有：Ft₁=2m_Bv_B 
代人數據解得：t₁=

2mBvB

F

=

2×0.5×2

1

s=2s
A運動勻減速運動的距離為：S₁=v_At₁-

1

2

aA

t

2 1

=（8×2-

1

2

×1×22）m=14m
A的速度為：v₁=v_A-a_At₁=（8-1×2）m/s=6m/s    
A勻速運動的時間為：t₂=

SA-S1

v1

=

20-14

6

s=1s
A穿出作用區用時為：L=v₁t₃-

1

2

aA

t

2 3

代人數據得：5.5=6×t₃-

1

2

×1×

t

2 3

解得，t₃=1s （另一解t₃=11s，因A做勻減速運動，速度減小，若t₃=11s，A穿過相互作用區時，速度為：v₃=v₁-a_At₃=6-1×11=-5m/s，說明A回頭，不能穿過相互作用區，不合理，故舍去）
故A從開始運動到完全穿過作用區所用時間為：t=t₁+t₂+t₃=4s
（2）要使A、B的動能之和最小，則A穿過作用區后與B速度相等
右動量守恒得：m_Av_A-m_Bv_B=（m_A+m_B）v
A、B的動能之和為：E_k=

1

2

(mA+mB)v2
解得：E_k=16.3J
答：（1）A從開始運動到完全穿過作用區所用時間為4s．
（2）A、B兩球的最小總動能為16.3J．

點評：本題分析清楚A、B運動的過程是關鍵，運用牛頓第二定律和運動學公式結合進行判斷．