Question

如圖（1）所示為示波器的部分構造．真空室中電極 K 連續不斷的發射電子（初速不計），經過電壓為U₀ 的加速電場后，由A小孔 f 沿水平金屬板 A、B 間的中心軸線射入板間，板 k f 長為 l，兩板相距 d，電子穿過兩板后，打在熒光屏 上，屏到兩板邊緣的距離為 L，屏上的中點為 O，屏上 a、b 兩點到點 O 的距離均為 s．若在 A、B 兩板間加上變化的電壓，在每個電子通過極板的極短時間內，電場可視作恒定的．現要求 t=0 時，進入兩板間的電子出偏轉電場后打在屏上的 a 點，然后經時間T 亮點勻速上移到 b 點，在屏上形成一條豎直亮線．電子的電量為 e，質量為 m．
（1）求 A、B 間電壓的最大值．
（2）推導出加在 A、B 兩板間的電壓U_BA 與 t 的關系式．
（3）在圖（2）中畫出 0-T 內的U_BA-t 圖象示意圖．

Answer 1

分析：（1）電子經加速電場加速，進入偏轉電場，做類平拋運動，出電場做勻速直線運動，根據運動學公式結合電子從偏轉電場射出，不論U多大，電子都好像從偏轉電場的中心O′射出，通過幾何關系求出偏轉電壓與最終偏移量的關系．
（2）求t=0進入兩板間的電子打在屏上的b點，然后在時間T內亮點勻速上移到a點，求出電子在屏上的偏移量與時間的關系，從而結合第（1）問中的結論求出U與時間的關系．
（3）根據U與t的關系式作出U-t圖象．

解答：解：（1）設電子經U₀加速后的速度為v₀，根據動能定理得：
  eU₀=

1

2

m

v

2 0

  ①
設電子偏轉飛出電場與水平方向的夾角為φ．
在偏轉電場中，場強E=

U

d

加速度a=

eE

m

=

eU

md

 ②
運動時間為 t₁=

l

v0

 ③
偏轉位移y₁=

1

2

a

t

2 1

④
tanφ=

vy

v0

=

at

v0

．⑤
聯立得：y₁=

Ul2

4dU0

，⑥
tanφ=

Ul

2dU0

．⑦
又tanφ=

y1

x

，得x=

l

2

 
所以電子從偏轉電場射出，不論U多大，電子都好像從偏轉電場的中心O′射出．如圖，由幾何關系得：
 

y

y1

=

L+0.5l

0.5l

 ⑧
得y=

(2L+l)y1

l

=

(2L+l)Ul

4dU0

 ⑨
取y=

s

2

，得A、B間電壓的最大值U_AB=

2dU0s

(2L+l)l

 ⑩
（2）亮點勻速上移的速度為 v=

s

T

  （11）
由⑨得：U_AB=

4dU0

(2L+l)l

（

1

2

s-vt）=

4dU0

(2L+l)l

（

1

2

s-

s

T

t）  （12）．
（3）由上式（12）得，如圖所示U_BA-t 圖象示意圖如圖所示．其中U_AB=

2dU0s

(2L+l)l

．
答：
（1）AB兩板間所加電壓的最大值為

2dU0s

(2L+l)l

．
（2）加在AB兩板間電壓U與時間t（0≤t≤T）的關系式為U_AB=

4dU0

(2L+l)l

（

1

2

s-

s

T

t）．
（3）如圖所示U_BA-t 圖象示意圖如圖所示．其中U_AB=

2dU0s

(2L+l)l

．

點評：解決本題的關鍵理清電子在整個過程中的運動情況，運用運動學公式結合牛頓第二定律求出偏移量，通過偏移量與偏轉電壓的關系，得出U與t的關系式．