Question

（2011?安徽模擬）如圖所示，質量為m=1kg的可視為質點的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進入豎直光滑圓弧軌道下滑，圓弧軌道與質量為M=2kg的足夠長的小車左端在最低點O點相切，并在O點滑上小車，水平地面光滑，當物塊運動到障礙物Q處時與Q發生無機械能損失的碰撞，碰撞前物塊和小車已經相對靜止，而小車可繼續向右運動（物塊始終在小車上），小車運動過程中和圓弧無相互作用．已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對應圓心角的θ為53°，A點距水平面的高度h=0.8m，物塊與小車間的動摩擦因素為μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：
（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁；
（2）小物塊經過O點時對軌道的壓力；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對小車的位移和小車做勻減速運動的總時間．

Answer 1

分析：（1）利用平拋運動規律，在B點對速度進行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關系，而豎直方向速度V_y²=2gh顯然易求，則水平速度可解．
（2）首先利用動能定理解決物塊在最低點的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據牛頓第三定律可求對軌道的壓力．
（3）第一次碰撞后，滑塊以原速率返回，小車減速，當滑塊速度減為零后反向加速度時，小車仍然減速，知道兩者速度相同，一起向右；之后重復這個過程，小車與滑塊有相對滑動的過程中，小車勻減速；根據功能關系列式求相對路程，根據速度時間關系公式求解小車的減速時間．

解答：解：（1）對小物塊由A到B有：V_y²=2gh
在B點：tanθ=

v1

vy

解得：v₁=3m/s
故小物塊離開A點的水平初速度v₁為3m/s．
（2）由A到O，根據動能定理有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+mg?(h+R-Rcosθ)
在O點：FN-mg=m

v 2 0

R

解得：v0=

33

m/s
F_N=43N
故壓力F′_N=43N
故小物塊經過O點時對軌道的壓力為43N．
（3）摩擦力f=μmg=1N，物塊滑上小車后，滑塊減速運動，加速度大小為am=

f

m

=1m/s2；
小車加速運動，加速度大小為aM=

f

M

=

1

2

m/s2；
經過時間t達到的共同速度為v_t，則
t=

vt

aM

=

v0-vt

am

  
 得vt=

33

3

m/s2
由于碰撞不損失能量，物塊在小車上重復做勻減速和勻加速運動，相對小車始終向左運動，與小車最終靜止，摩擦力做功使動能全部轉化為內能，故有：
f?s相=

1

2

(M+m)

v

2 t

  
得s_相=5.5m
小車從物塊碰撞后開始做勻減速運動，（每個減速階段）加速度a不變aM=

f

M

=

1

2

m/s2
v_t=a_Mt
得t=

2

3

33

s
第一次碰撞后直至靜止，物塊相對小車的位移為5.5m，小車做勻減速運動的總時間為

2

3

33

s．

點評：本題前兩問是一個單物體多過程的力學問題，把復雜的過程分解成幾個分過程是基本思路；第三問是一個多過程問題，要分析清楚兩個物體的運動情況，然后根據運動學公式和功能關系列式求解．