Question

如圖甲所示，水平放置的兩平行金屬板間距離為d，板長為l，OO′為兩金屬板的中線．在金屬板的右側有一豎直寬度足夠大的勻強磁場，其左右邊界均與OO′垂直，磁感應強度的大小為B，方向垂直紙面向里．兩金屬板間的電壓u隨時間t變化的圖象如圖乙所示．現有質子連續不斷地以速度v₀沿兩金屬板的中線射入電場中，每個質子在電場區域運動的時間內可以認為兩金屬板間的電場強度不變，已知質子的質量為m、電荷量為e．
（1）若在t=0時射入的質子能從磁場左邊界飛出，試求質子在磁場中運動的時間t₁；
（2）若射入的質子都能飛出電場，試求兩金屬板間所加電壓的最大值U_m；
（3）在（2）的情況下，為使由電場飛出的質子均不能從磁場右邊界飛出，則勻強磁場的水平寬度s應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據質子在磁場中運動的周期公式，即可求解；
（2）質子做類平拋運動，將運動分解成速度方向與電場力的方向，根據運動學公式，即可求解；
（3）根據速度的分解，與幾何關系可求出θ，再由三角函數，即可求出結果．

解答：解
（1）t=0時場強為0，質子在在極板間不偏轉．
質子在磁場中做圓周運動的周期T=

2πm

Be

質子在磁場中運動了半個周期，所以t₁=

πm

Be

（2）質子在電場中做類平拋運動，由運動學公式，則有
y═

d

2

=

1

2

at2=

1

2

Ume

md

(

l

v0

)2
解得：Um=

md2 v 2 0

el2

（3）
根據運動的分解，則有速度關系，v=

v0

cosθ

因運動半徑公式，r=

mv

Be

=

mv0

Becosθ

又幾何關系，s₀=r+rsinθ
質子就好像從O O′飛出電場一樣
則tanθ=

d 2

l 2

=

d

l

所以s₀=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

則應滿足的條件為s=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

答：（1）若在t=0時射入的質子能從磁場左邊界飛出，則質子在磁場中運動的時間t₁=

πm

Be

；
（2）若射入的質子都能飛出電場，則兩金屬板間所加電壓的最大值：Um=

md2 v 2 0

el2

；
（3）在（2）的情況下，為使由電場飛出的質子均不能從磁場右邊界飛出，則勻強磁場的水平寬度應滿足s=

mv0(d+ l2+d2 )

eBl

條件．

點評：質子在電場中作類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，掌握處理類平拋運動的規律，學會畫出運動軌跡的圖，理解幾何關系在其中的應用．