Question

已知甲、乙兩行星的半徑之比為a，它們各自的第一宇宙速度之比為b，則下列結論正確的是（　　）

A．甲、乙兩行星的平均密度之比為b²：a²

B．甲、乙兩行星表面的重力加速度之比為1：a²

C．甲、乙兩行星各自的衛星的最小周期之比為a：b

D．甲、乙兩行星各自的衛星的最大角速度之比為b：1

Answer 1

分析：根據第一宇宙速度公式得到行星的質量，求出行星密度的表達式，再求解兩行星平均密度之比．行星表面的重力加速度表達式為g=

GM

R2

，可求出兩行星表面的重力加速度之比．
衛星繞行星表面附近運行時周期最小，角速度最大，由萬有引力等于向心力求出周期和角速度的表達式，再求解周期和角速度之比．

解答：解：A、設任一行星的質量為M，半徑為R，則其第一宇宙速度為v=

GM R

，得，M=

Rv2

G

行星的平均密度為  ρ=

M

4 3 πR3

=

Rv2 G

4 3 πR3

=

3v2

4πGR2

則得，ρ_甲：ρ_乙=

v 2 甲

R甲

：

v 2 乙

R乙

=b²：a²．故A正確．
B、行星表面的重力加速度表達式為g=a=

v2

R

，則得到，甲、乙兩行星表面的重力加速度之比為1：a．故B錯誤．
C、根據開普勒第三定律得知，衛星繞行星表面附近運行時半徑最小，周期最小，則角速度最大，則有
    T=

2πR

v

，ω=

v

R

則得，甲、乙兩行星各自的衛星的最小周期之比為T_甲：T_乙=a：b，最大角速度之比為b：a．故C正確，D錯誤．
故選AC

點評：本題運用比例法求解．關鍵要掌握行星的第一宇宙速度、表面重力加速度的公式，再根據比例法求解．