Question

【題目】圖所示，一長L=4.5m、質量m1=1kg的長木板靜止在水平面上，與地面間的動摩擦因數μ1=0.1．長木板B端距光滑水平軌道CD的C端距離S=7m，長木板的上表面與CD面等高．一小滑塊以v0=9m/s的初速度滑上長木板的A端后長木板開始運動．小滑塊質量m2=2kg，與長木板之間的動摩擦因數μ2=0.4，長木板運動到C處時即被半圓粘連．水平軌道CD右側有一豎直光滑圓形軌道在D點與水平軌道平滑連接，圓心為O，半徑R=0.4m．一輕質彈簧一端固定在O點的軸上，一端拴著一個質量與小滑塊相等的小球，彈簧的原長為l0=0.5m，勁度系數k=100N/m，不計小滑塊和小球的大小，取重力加速度的大小g=10m/s2．求：

（1）小滑塊剛滑上長木板時，長木板的加速度大小a1和小滑塊的加速度大小a2；

（2）長木板與水平軌道C端發生粘連前瞬間的速度vt；

（3）小滑塊與小球在D點發生彈性碰撞后，小球隨即沿圓弧軌道運動，通過分析可知小球到達P點時離開圓軌道，求P、O連線與豎直方向夾角θ的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）5m/s2 4m/s2 （2）4m/s； （3）余弦值為

【解析】（1）由題意知滑塊帶動長木板滑動，先以滑塊為研究對象，長木板對滑塊的摩擦力使滑塊產生加速度，故有：

μ2m2g=m2a2

可得滑塊的加速度為：

長木板在滑塊和地面滑動摩擦力共同作用下產生加速度有：

；

(2) 設滑塊和木板達到共同速度v1時間為t

則v1=a1t

v1=v0﹣a2t代入數據解得

v1=5×1m/s=5m/s此過程中長木板的位移為：

小滑塊的位移為：

滑塊與木板的位移差為：△x=x2﹣x1=7﹣2.5m=4.5m

因為△x=L，所以滑塊剛好滑至長木板的右端時，兩者具有共同的速度，經后長木板與滑塊一起做勻減速運動

加速度為：

因為|a3|＜|a2|，所以滑塊和長木板一起減速，設滑行到C處的速度為vC，

根據速度位移關系有：

即長木板與水平軌道C端發生粘連前瞬間的速度vt為4m/s；

(3) 小滑塊和小球質量相同，在D處彈性碰撞后，兩球交換速度，小球以vC=4m/s沿圓弧軌道向上運動，

設小球離開軌道時的速度為v

由機械能守恒有：

根據牛頓第二定律有：

由以上兩式解得：。