Question

【題目】如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L＝3 m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，BQC的半徑為r＝1 m，APD的半徑為R＝2 m，O2A、O1B與豎直方向的夾角均為θ＝37°.現有一質量為m＝1 kg的小球穿在滑軌上，以Ek0的初動能從B點開始沿BA向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為μ＝，設小球經過軌道連接處均無能量損失．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)要使小球能夠通過弧形軌道APD的最高點，初動能Ek0至少多大？

(2)求小球第二次到達D點時的動能；

(3)小球在CD段上運動的總路程．

Answer 1

【答案】(1)30 J (2)12.6 J (3)9.78 m

【解析】(1)設小球恰好過弧形軌道的最高點

由動能定理得：

－mg[(R－Rcos θ)＋Lsin θ]－μmgLcos θ＝0－Ek0

解得：Ek0＝30 J.

(2)小球從B點出發到第一次回到B點的過程中，根據動能定理得，－μmgLcos θ－μmgL＝EkB－Ek0

解得：EkB＝12 J

小球沿BA向上運動到最高點，距離B點為s，

則有EkB＝μmgscos θ＋mgssin θ，

解得：s＝18/13 m

小球繼續向下運動，當小球第二次到達D點時動能為EkD，

mg[(r＋rcos θ)＋ssin θ]－μmgscos θ－μmgL＝EkD－0，

解得：EkD＝12.6 J.

(3)小球第二次到D點時的動能為12.6 J，沿DP弧上升后再返回DC段，到C點時的動能為2.6 J．小球無法繼續上升到B點，滑到BQC某處后開始下滑，之后受到摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點，由動能定理得，EkD＝μmgs1，解得：s1＝3.78 m.

小球在CD段上運動的總路程為s＝2L＋s1＝9.78 m.