Question

（2011?無錫一模）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動．當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地．如題圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為

3

4

d，重力加速度為g．忽略手的運動半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷時球的速度大小 v₁和球落地時的速度大小 v₂．
（2）向繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩斷后小球做平拋運動，根據平拋運動的規律即可求解繩斷時球的速度大小 v₁和球落地時的速度大小 v₂．
（2）設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小．根據向心力公式即可求解；
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v₃，繩承受的最大推力不變，根據圓周運動向心力公式及平拋運動的規律結合數學知識即可解題．

解答：解：（1）設繩段后球飛行時間為t，由平拋運動規律，有
豎直方向

1

4

d=

1

2

gt2，水平方向d=v₁t
得v1=

2gd

由機械能守恒定律，有

1

2

mv22=

1

2

mv12+mg(d-

3

4

d)
得v2=

5 2 gd

（2）設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小．
球做圓周運動的半徑為R=

3

4

d
由圓周運動向心力公式，有 T-mg=

mv12

R

得    T=

11

3

mg
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v₃，繩承受的最大拉力不變，
有  T-mg=

mv32

l

得v3=

8 3 gl

繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t₁
有d-l=

1

2

gt12x=v₃t₁
得    x=4

l(d-l) 3

當l=

d

2

時，x有極大值，xmax=

2 3

3

d
答：（1）求繩斷時球的速度大小 v₁為

2gd

，球落地時的速度大小 v₂為

5 2 gd

；
（2）繩能承受的最大拉力為

11

3

mg；
（3）繩長應是

d

2

，最大水平距離為

2 3

3

d．

點評：本題主要考查了圓周運動向心力公式及平拋運動的規律的應用，并能結合數學知識解題．