Question

如圖1，在xoy 平面內有垂直紙面的有界勻強磁場，磁感應強度大小均為B，其中0＜x＜a區域內磁場方向垂直xoy 平面向里，a＜x區域內磁場方向垂直xoy 平面向外，x＜0區域內無磁場．一個帶正電q、質量為m 的粒子（粒子重力不計）在坐標原點處，以某一初速度沿x軸正方向射入磁場．



（1）求要使粒子能進入第二個磁場，初速度要滿足的條件；
（2）粒子初速度改為v₁，要使粒子經過兩個磁場后沿x軸負方向經過O點，求圖中磁場分界線（圖中虛線）的橫坐標值為多少？要在圖2中畫出軌跡圖．
（3）在第二問的情況下，要使帶電粒子第二次回到O點，且回到O點時的速度方向沿x軸正方向，請在x＜0內設計符合要求的磁場，在圖2上標明磁場的方向、磁感應強度的大小和邊界的坐標？
（4）若粒子在第一個磁場中作圓周運動的軌跡半徑為R=

2

a，求粒子在磁場中的軌跡與x 軸的交點坐標．

Answer 1

（1）質子在磁場中受到洛倫茲力做勻速圓周運動，


根據牛頓第二定律則有：qvB=m

v2

R

，
進入第二個磁場的條件：R＞a 
初速度滿足：v＞

Bqa

m

（2）有對稱性分析，右邊的圓弧的圓心一定在X軸上，正確畫出軌跡圖，


且三段圓弧的圓心正好構成一個正三角形，
所以θ=60° a
點的坐標變為X=R sinθ=

3 mv0

2Bq

（3）如圖所示，


（4）質子在磁場中受到洛倫茲力做勻速圓周運動，
根據牛頓第二定律，有：qvB=m

v2

R

，
得質子做勻速圓周運動的半徑為：R=

mv

Bq

，
帶電粒子在兩個磁場中的半徑都為R=

2

a，
則有sinθ=

a

R

，
得到θ=45°，
圓心C的坐標為X_C=2Rsinθ=2a
YC=-(2a?R)=-(2-

2

)a，所以圓方程為(x-2a)2+(y+2a-

2

a)2=2a2，
將y=0代入得，X=2（1+

2 -1

）a，所以交點坐標為(2(1+

2 -1

)a，0)
答：（1）求要使粒子能進入第二個磁場，初速度要滿足的條件是：v＞

Bqa

m

；
（2）粒子初速度改為v₁，要使粒子經過兩個磁場后沿x軸負方向經過O點，則圖中磁場分界線（圖中虛線）的橫坐標值為X=

3 mv0

2Bq

；要在圖2中畫出軌跡圖．
（3）如圖所示，
（4）若粒子在第一個磁場中作圓周運動的軌跡半徑為R=

2

a，求粒子在磁場中的軌跡與x 軸的交點坐標為(2(1+

2 -1

)a，0)．