Question

2011年11月1日5時58分07秒，中國“長征二號F”遙八運載火箭在酒泉衛星發射中心載人航天發射場點火起飛，將“神舟八號”飛船發射升空．根據軌道計算結果，“神舟八號”飛船于6時7分53秒進入近地點約200千米，遠地點329千米，軌道傾角為42度，周期5379秒的初始軌道，隨后在地面測控通信系統的導引下，神舟八號飛船經五次變軌，從初始軌道轉移到330千米的近圓軌道．現假設長征二號運載火箭托舉著神舟八號飛船送入近地點為A、遠地點為B的初始橢圓軌道上，A點距地面的高度為h₁，如圖所示．以后變軌到近園軌道上運行，若飛船在近圓軌道上飛行n圈所用時間為t．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．飛船的質量為m₀．求：
（1）飛船在A點的加速度大小a．
（2）飛船在遠地點B距地面的高度h₂．
（3）假設飛船在初始橢圓軌道A點的速度為V_A，變軌后進入近園軌道運行，這個過程合外力對飛船做的功．

Answer 1

分析：（1）設地球質量為M．飛船在A點：G

Mm0

(R+h)2

=m0a ，對地面上質量為m的物體有G

Mm

R2

=mg，聯立即可求解；
（2）根據萬有引力提供向心力周期關系即可求解高度；
（3）根據萬有引力提供向心力速度公式結合動能定理即可求解．

解答：解：（1）設地球質量為M．
飛船在A點：G

Mm0

(R+h)2

=m0a 
對地面上質量為m的物體：G

Mm

R2

=mg
解得：a=

R2

(R+h1)2

g
（2）飛船在近圓軌道上飛行的周期：T=

t

n

近圓軌道半徑為r=h₂+R，
則有：G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解出：h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R                    
（3）設飛船在近圓軌道上運動的速度為V_B，
G

Mm0

(R+h2)2

=

m0VB2

R+h2

 
由動能定理可得：外力對飛船做的功W：
W=

1

2

m0VB2-

1

2

m0VA2=

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2
答：（1）飛船在A點的加速度大小a為

R2

(R+h1)2

g；
（2）飛船在遠地點B距地面的高度h₂為

3	gR2t2 4π2n2

-R；
（3）假設飛船在初始橢圓軌道A點的速度為V_A，變軌后進入近園軌道運行，這個過程合外力對飛船做的功為

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2．

點評：本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，注意選取適當的公式解題，難度適中．