Question

（2012?嘉興二模）如圖甲所示，M、N為豎直放置的兩塊平行金屬板，圓形虛線為與N相連且接地的圓形金屬網罩．PQ為與圓形網罩同心的金屬收集屏，通過阻值為r₀的電阻與大地相連．小孔s₁、s₂、圓心O與PQ中點位于同一水平線上．圓心角2θ=120°、半徑為R的網罩內有大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場．M、N間相距

R

2

且接有如圖乙所示的隨時間t變化的電壓，U_MN=U₀sin

π

T

t（0≤t≤T），U_MN=U₀（t＞T）（式中U₀=

3eB2R2

m

，T已知），質量為m、電荷量為e的質子連續不斷地經s₁進入M、N間的電場，接著通過s₂進入磁場．（質子通過M、N的過程中，板間電場可視為恒定，質子在s₁處的速度可視為零，質子的重力及質子間相互作用均不計．）
（1）質子在哪些時間段內自s₁處進入板間，穿出磁場后均能打到收集屏PQ上？
（2）質子從進入s₁到穿出金屬網罩經歷的時間記為t′，寫出t′與U_MN之間的函數關系（tanx=a 可表示為x=arctana）
（3）若毎秒鐘進入s₁的質子數為n，則收集屏PQ電勢穩定后的發熱功率為多少？

Answer 1

分析：（1）質子在MN板間運動，由動能定理求出加速獲得的速度．質子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出質子軌跡半徑與電壓U_MN的關系式．由題意，2θ=120°，若質子能打在收集屏上，軌道半徑r與半徑R應滿足的關系：r≥

3

R，聯立可得到板間電壓U_MN的范圍，即可求出時間范圍．
（2）質子在電場中做勻加速運動，由運動學公式求出時間；根據磁場中軌跡的圓心角α，由t=

α

2π

T求磁場中運動的時間．即可得到總時間．
（3）穩定時，收集屏上電荷不再增加，即在t＞T 時刻以后，U_MN=U₀，收集屏與地面電勢差恒為U，單位時間到達收集板的質子數n，單位時間內，質子的總能量為P_總，單位時間內屏上發熱功率為P_屏=P_總-P_熱，消耗在電阻上的功率為P_熱=I²r₀，所以收集板發熱功率 P_板=P_總-P_熱，聯立求解．

解答：解：（1）質子在MN板間運動，根據動能定理，有eU_MN=

1

2

m

v

2 0

得 v₀=

2eUMN m

            
質子在磁場中運動，根據牛頓第二定律，有
 evB=m

v 2 0

r

聯立  r=

mv0

eB

=

1

B

2mUMN e

 若質子能打在收集屏上，軌道半徑r與半徑R應滿足的關系：r≥

3

R      
解得板間電壓 U_MN≥

3eB2R2

2m

                                    
結合圖象可知：質子在

T

6

≤t≤

5

6

T和t≥T之間任一時刻從s₁處進入電場，均能打到收集屏上                                                       
（2）M、N間的電壓越小，質子穿出電場進入磁場時的速度越小，質子在極板間經歷的時間越長，同時在磁場中運動軌跡的半徑越小，在磁場中運動的時間也會越長，設在磁場中質子運動所對應的圓半徑為r，運動圓弧所對應的圓心角為θ，射出電場的速度為v₀，質子穿出金屬網罩時，對應總時間為t，則
在板間電場中運動時間t₁=

R 2

v0 2

=

R

v0

=R

m 2eU0

tan

θ

2

=

R

r

=

RBe

mv0

=

RBe

2emUMN

在磁場中運動時間t₂=

Rθ

v0

=

θm

Be

                                
所以，運動總時間t=t₁+t₂=R

m 2eU0

+

θm

Be

，θ=2arctan

RBe

mv0

在磁場中運動時間t₂=

Rθ

v0

=

θm

Be

=

2m

Be

arctan

RBe

2meUMN

所以，運動總時間t=t₁+t₂=R

m 2eU0

+

2m

Be

arctan

RBe

2meUMN

         
（3）穩定時，收集屏上電荷不再增加，即在t＞T 時刻以后，此時，U_MN=U₀，收集屏與地面電勢差恒為U，U=Ir₀
單位時間到達收集板的質子數n
單位時間內，質子的總能量為P_總=

1

2

nm

v

2 0

=neU₀=IU₀             
單位時間內屏上發熱功率為P_屏=P_總-P_熱                                
消耗在電阻上的功率為P_熱=I²r₀                                
所以收集板發熱功率 P_板=P_總-P_熱=IU₀-I²r₀=neU₀-n²e²r₀           
答：（1）質子在

T

6

≤t≤

5

6

T和t≥T之間任一時刻從s₁處進入電場，均能打到收集屏上；
（2）出t′與U_MN之間的函數關系是t=R

m 2eU0

+

2m

Be

arctan

RBe

2meUMN

；
（3）收集屏PQ電勢穩定后的發熱功率為neU₀-n²e²r₀．

點評：本題要注意質子在電場中加速后進入磁場中偏轉；加速電場中由動能定理求出速度，而在磁場中的運動要由幾何關系確定圓心和半徑，再根據牛頓第二定律及向心力公式列式求解．本題中的難點在于找出時間范圍及時間的最大值．