Question

某恒星遠處有一顆行星，靠近行星周圍有眾多的衛星，且相對均勻地分布于行星周圍．假設衛星繞行星的運動是勻速圓周運動，通過天文觀測，測得離該行星最近的一顆衛星運動的軌道半徑為R₁T，周期為T₁．已知萬有引力常量為G．
（1）求該行星的質量；
（2）通過天文觀測，發現離該行星很遠處還有一顆衛星，其運動的軌道半徑為R₂，周期為T₂，試估算該行星周圍眾多衛星的總質量．
（3）通過天文觀測發現，某一時刻行星跟距離自己最近的衛星以及距離自己很遠的衛星正好分布在一條直線上，求再經過多長時間它們又將分布在一條直線上．

Answer 1

分析：（1）萬有引力做為向心力，明確告訴了行星的周期，所以向心力的公式要考慮用含有周期的公式．
（2）因為行星周圍的衛星分布均勻，研究很遠的衛星可把其他衛星和行星整體作為中心天體，根據萬有引力提供向心力求出總質量，則靠近行星周圍眾多衛星的總質量等于剛才求的總質量減去行星質量．
（3）若要再次讓兩顆衛星在一條直線上，則應該在相同時間內，兩顆衛星經過的周期之差應該是整數．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力得：
G

Mm1

R12

=m1R1

4π2

T12

，
解得：
M=

4π2R13

GT12

．                                
（2）因為行星周圍的衛星分布均勻，研究很遠的衛星可把其他衛星和行星整體作為中心天體，根據萬有引力提供向心力得：
G

M′m2

R22

=m2R2

4π2

T22

，
解得：
M′=

4π2R23

GT22

．                    
故該行星周圍眾多衛星的總質量為：
M總=M′-M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

         
（3）若要再次讓兩顆衛星在一條直線上，則應該在相同時間內，兩顆衛星經過的周期之差應該是整數，即：
(

2π

T1

-

2π

T2

)t=nπ （n=1、2、3…），
解得：
t=

nT1T2

2(T2-T1)

（n=1、2、3…）．
答：
（1）該行星的質量為M=

4π2R13

GT12

．
（2）該行星周圍眾多衛星的總質量為

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．
（3）再經過t=

nT1T2

2(T2-T1)

（n=1、2、3…）時間它們又將分布在一條直線上．

點評：本題難點在于求衛星的質量，我們可以在行星周圍找一顆最遠的衛星研究，即把行星和其周圍的衛星當成中心體，此法只適用于具有很遠衛星的行星．