Question

（2010?武漢二模）在探究某種筆的彈跳問題時，建立以下簡化模型進行研究．
把筆分為輕質彈簧、圓筒和直桿三部分，薄擋板P固定在直桿上，輕質彈簧的兩端分別固定在圓筒頂部和薄擋板P上，質量為M的圓筒可沿直桿無摩擦滑動，直桿和擋板P的總質量為m．開始時將筆直立于水平桌面，在桌面上方的矩形區域內有豎直向上的勻強電場，帶正電的擋板P非常靠近電場的上邊界，擋板P與周圍物體絕緣接觸，受到的電場力與筆的重力大小相等．向上移動圓筒使彈簧處于原長狀態，此時擋板P剛好與圓筒底部接觸，如圖甲所示．現用力緩慢向下壓圓筒，使圓筒底部恰好與水平桌面接觸，此過程中壓力做功為W，如圖乙所示．撤除壓力，圓筒彈起并與擋板P碰撞，兩者一起上升到最大高度后自由落下，此后直桿在桌面上多次跳動．
假設圓筒與擋板P每次碰撞結束時均具有相同速度，碰撞時間均忽略不計．直桿與桌面每次碰撞后均不反彈，直桿始終保持豎直狀態．不計一切摩擦與空氣阻力，重力加速度大小為g，求：
（1）直桿第一次上升的最大高度h₁；
（2）直桿運動的總路程h．

Answer 1

分析：（1）彈簧恢復原長時，能量守恒，結合功能關系可得到壓力做功和初速度的關系，求出碰撞后的速度利用豎直上拋運動規律可求得最大高度；
（2）應用動量守恒，可求得圓筒底部與擋板n次碰撞后的速度，從而可求出n次上升的最大高度，從而可求出直桿運動的總路程．

解答：解：（1）設將圓筒下移h₀，設其底部與水平桌面接觸時，彈簧的彈性勢能為E_P，
根據功能關系
W+Mgh₀=E_P    ①
撤除壓力后，當彈簧恢復原長時，設圓筒與擋板碰前的速度為v₀，根據能量守恒E_P=Mgh₀+

1

2

M

v

2 0

  ②
聯立①②解得  W=

1

2

M

v

2 0

   ③
設圓筒與直桿碰撞后共同速度為v₁，
由動量守恒定律  Mv₀=（M+m）v₁     ④
此后圓筒與桿共同做豎直上拋運動 h₁=

v12

2g

     ⑤
聯立③④⑤解得  h₁=

M2 v 2 0

2g(M+m)2

=

WM

(M+m)2g

                    ⑥
（2）由于

1

2

M

v

2 1

＜W，所以此后圓筒底部不再與水平桌面接觸．根據機械能守恒，圓筒底部與擋板第二次碰前瞬間的速度為v₁，設碰后共同速度為v₂，由于筆所受電場力與重力平衡，根據動量守恒定律
Mv₁=（M+m）v₂  
即V₂=(

M

M+m

)2?v0     ⑦
直桿第2次上升的最大高度h₂=

v22

2g

=

v 2 0

2g

(

M

M+m

)4         ⑧
同理可得，圓筒底部與擋板第n次碰后速度 vn=(

M

M+m

)nv0     ⑨
直桿第n次上升的最大高度       h_n=

v 2 n

2g

=

v 2 0

2g

(

M

M+m

)2n     ⑩
故直桿運動的總路程為 h=2（h₁+h₂+…+h_n）   n→∞
聯立解得 h=2（

M2 v 2 0

2g(M+m)2

+

v 2 0

2g

(

M

M+m

)4+…

v 2 0

2g

(

M

M+m

)2n）=

2MW

(m2+2Mm)g

答：（1）直桿第一次上升的最大高度

WM

(M+m)2g

；
（2）直桿運動的總路程為

2MW

(m2+2Mm)g

．

點評：本題關鍵是分析直桿的運動規律，利用能量守恒、動量守恒以及豎直上拋運動規律解題．