Question

（2009?廣州三模）（1）在海濱游樂場里有一種滑沙的游樂活動．如圖所示，人坐在滑板上從斜坡的高處由靜止開始滑下，滑到斜坡底端B點后沿水平的滑道再滑行一段距離到C點停下來．若某人和滑板的總質量m=60.0kg，滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動摩擦因數相同，大小為μ=0.50，斜坡的傾角θ=37°．斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個運動過程中空氣阻力忽略不計．試求：人從斜坡滑下的加速度為多大？若出于場地的限制，水平滑道的最大距離為L=20.0m，則人在斜坡上滑下的距離AB應不超過多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）地球繞太陽的公轉可認為是勻速圓周運動．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉的周期為T，太陽發出的光經時間t₀到達地球表面，光在真空中的傳播速度為c．太陽到地球表面的距離遠遠大于地球的半徑．根據以上條件推出太陽的質量M與地球的質量m之比．

Answer 1

分析：（1）人與滑板由靜止從粗糙斜面滑下后，又滑上粗糙水平面最后停止．在斜面上對其進行受力分析，再進行力的合成求出合力，運用牛頓第二定律可算出加速度．當人與滑板從靜止到停止，先做勻加速后做勻減速，由運動學公式與牛頓運動定律可求出滑下的最大距離．
（2）根據太陽發出的光經過時間t到達地球，求出地球與太陽之間的距離，地球繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力周期公式求出太陽的質量，再根據地球表面重力等于萬有引力求出地球的質量即可求解．

解答：解：（1）人在斜面上受力如圖所示，建立圖示坐標系，設人在斜坡上滑下的加速度為a₁，
由牛頓第二定律有mgsin37°-f=ma₁   
N=mgcos37°
又因為f=μN          
解得a₁=2m/s²
設滑板在水平滑道上時的加速度為a₂
-μmg=ma₂
解得：a2=-μg=-5m/s2
根據位移速度公式得：vB=

0-2a2L

=

0-2×(-5)×20

m/s=10

2

m/s    
所以SAB=

v 2 B

2a1

=

200

2×2

m=50m
（2）設地球繞太陽做勻速圓周運動的半徑為r，角速度為ω．
根據萬有引力定律和牛頓第二定律：
G

Mm

r2

=mω2r      
又ω=

2π

T

r=ct₀
在地球表面附近的小物體m₀，其重力等于萬有引力，則有：
G

mm0

R2

=m0g
解得：

M

m

=

4π2c3t03

T2R2g

答：（1）人從斜坡滑下的加速度為2m/s²，人在斜坡上滑下的距離AB應不超過50m；
（2）太陽的質量M與地球的質量m之比為

4π2c3t03

T2R2g

．

點評：（1）對研究對象的進行受力分析與運動分析，再由運動學公式與牛頓運動定律相結合．同時第二個小問可以用動能定理來處理．
（2）本題主要考查了萬有引力公式的直接應用，知道天體運動中只能求出中心天體的質量，難度適中．