Question

如圖甲所示，質量為m=0.5kg、電阻r=1Ω的跨接桿ab可以無摩擦地沿水平固定導軌滑行，導軌足夠長，兩導軌間寬度為L=1m，導軌電阻不計，電阻R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，裝置處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B=1T．桿從x軸原點O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知桿在整個運動過程中v隨位移x變化的關系如圖乙所示．求：
（1）在桿的整個運動過程中，電流對電阻R₁做的功，
（2）在桿的整個運動過程中，通過電阻R₁的電量，
（3）要使R₁產生1J的熱量，桿需向右移動的距離及此時R₁的功率．

Answer 1

分析：（1）桿在磁場中向右運動時，切割磁感線產生感應電流，受到向左的安培阻力作用，動能減小轉化為電路的內能，根據能量守恒得到電路中產生的總熱量，根據串、并聯關系求出電阻R₁產生的熱量，即為電流做功．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律，得到電流的平均值，求出通過桿的電量，由并聯電路電流與電阻成反比，即可求得通過電阻R₁的電量，
（3）要使R₁產生1J的熱量，求出電路中產生的總熱量，根據能量守恒求出此時桿的速度，由圖講出位移x，由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出桿中電流，即可求出此時R₁的功率．

解答：解：（1）設整個電路中電流做功為W，則根據功能關系得
   W=

1

2

m

v

2 0

=

1

2

×0.5×42J=4J
設桿中瞬時電流為I，則電流對桿做功W_ab=I²rt，
電流對R₁做功W₁=I₁²R₁t，電流對R₂做功W₂=I₂²R₂t，
由于

I1

I2

=

R2

R1

=2，則I1=

2

3

I，I₂=

1

3

I
又r=1Ω，R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，得W_ab=1.5W₁，W₂=0.5W₁，
∵W=W_ab+W₁+W₂=3W₁，
∴W₁=

1

3

W=

4

3

J
（2）根據

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

r+ R1R2 R1+R2

，q=

.

I

?△t，△Φ=BLx
聯立得，通過桿的電量q=

BLx

r+ R1R2 R1+R2

代入解得，q=2C
由于R₁與R₂并聯，電流與電阻成反比，而電量q=It，則得
通過電阻R₁的電量q₁=

R2

R1+R2

q=

4

3

C
（3）要使R₁產生1J的熱量，由上題電功關系可知，R₁產生0.5J的熱量，桿產生的熱量為1.5J，電路中產生的總熱量為Q=1J+0.5J+1.5J=3J
設此時桿的速度為v，由能量守恒得
   Q+

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 0

，
解得v=2m/s
由圖知，桿需向右移動的距離x=2m
此時桿產生的感應電動勢為E=BLv=2V，干路中電流為I=

E

R

=1A
則I1=

2

3

I=

2

3

A
此時R₁的功率為P=

I

2 1

R1=

2

3

W
答：
（1）在桿的整個運動過程中，電流對電阻R₁做的功為

4

3

J，
（2）在桿的整個運動過程中，通過電阻R₁的電量為

4

3

C，
（3）要使R₁產生1J的熱量，桿需向右移動的距離為2m，此時R₁的功率為

2

3

W．

點評：本題中電磁感應中電路問題，分析電路中各部分電流關系是解題的關鍵，運用能量守恒、焦耳定律、歐姆定律、法拉第電磁感應定律及并聯、串聯的特點進行分析和求解．