Question

帶電粒子在AB兩極板間靠近A板中央附近S處靜止釋放，在兩極板電壓中加速，從小孔P平行CD極板方向的速度從CD極板中央垂直進入偏轉電場，B板靠近CD板的上邊緣如圖甲．在CD兩板間加如圖乙所示的交變電壓，設t₁=0時刻粒子剛好進入CD極板，t₂=t₀時刻粒子恰好從D板的下邊緣飛入勻強磁場，勻強磁場的上邊界與CD極板的下邊緣在同一水平線上，磁場范圍足夠大，加速電場AB間的距離，偏轉電場CD間的距離及CD極板長均為d，圖象乙中t₀和U₀都為已知，帶電粒子重力不計，不考慮電場和磁場邊界影響．求：

（1）加速電壓U=？U₀=？
（2）帶電粒子進入磁場時的速度？
（3）若帶電粒子在t₃時刻剛好從C極板的下邊緣進入偏轉電場，并剛能返回到初始位置S處，t₃=？，t₀=？
（4）帶電粒子全程運動的周期T=？

Answer 1

分析：（1）粒子加速后進入偏轉電場，恰好從偏轉電場下極板邊緣射出，由幾何關系得到速度與加速階段的速度關系，在加速電場和偏轉電場中分別應用動能定理可得加速電場的電壓值
（2）由于粒子在偏轉電場中做類平拋運動，平行于極板方向為勻速直線運動，由運動的合成與分解的知識可得粒子進入磁場時的速度
（3）帶電粒子在勻強電場中做勻速圓周運動，射入磁場時的速度大小和方向由（2）可知，故可得在磁場中的運動時間，由運動的對稱性可得返回到初始位置的時間
（4）根據運動的對稱性，結合（3）的答案可求運動全程的時間

解答：解：（1）設帶電粒子進入偏轉電場時的速度為v₀，從偏轉電場中射出的速度為v，t₁=0時刻粒子剛好進入CD極板，t₂=t₀時刻粒子恰好從D板的下邊緣飛入勻強磁場，
即由幾何關系可知：
v=

2

v0①
在加速電場中，有動能定理得：
qU=

1

2

mv

2 0

②
在偏轉電場中，有

1

2

qU₀=

1

2

mv2-

1

2

mv

2 0

③
所以，U=

1

2

U₀                                                                   
（2）由于粒子在偏轉電場中做類平拋運動，帶電粒子進入磁場時的速度大小為：
v=

2

v0=

2 d

t0

④
速度方向和磁場邊界成45°角．

（3）帶電粒子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，故：
qvB=

mv2

R

⑤
而，T=

2πR

v

⑥
且在磁場中運動時間為：t=

3T

4

⑦
由幾何關系得：R=

2

2

d⑧
由題意得：t=t₃-t₀⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨得，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）帶電粒子全程運動的周期為：T_總=2（

2d

v0

）+2×

d

v0

+

3T

4

=6t0+

3π

4

t₀
答：（1）加速電壓U=

1

2

U₀
（2）帶電粒子進入磁場時的速度

2 d

t0

，速度方向和磁場邊界成45°角
（3）若帶電粒子在t₃時刻剛好從C極板的下邊緣進入偏轉電場，并剛能返回到初始位置S處，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）運動全程的時間6t₀+

3π

4

t₀

點評：關鍵是挖掘“恰好從D板的下邊緣飛入勻強磁場”的隱含條件，建立清晰的運動情境，此外對運算能力要求較高