Question

（2007?佛山二模）我國通信衛星的研制始于70年代331衛星通信工程的實施，到1984年4月，我國第一顆同步通信衛星發射成功并投入使用，標志著我國通信衛星從研制轉入實用階段．現正在逐步建立同步衛星與“伽利略計劃”等中低軌道衛星等構成的衛星通信系統．
（1）若已知地球的平均半徑為R₀，自轉周期為T₀，地表的重力加速度為g，試求同步衛星的軌道半徑R；
（2）有一顆與上述同步衛星在同一軌道平面的低軌道衛星，自西向東繞地球運行，其運行半徑為同步軌道半徑R的四分之一，試求該衛星的周期T是多少？該衛星至少每隔多長時間才在同一城市的正上方出現一次．（計算結果只能用題中已知物理量的字母表示）

Answer 1

分析：（1）同步衛星的周期與地球的自轉周期相等，根據萬有引力提供向心力，結合萬有引力等于重力求出同步衛星的軌道半徑．
（2）通過萬有引力提供向心力求出周期與軌道半徑的關系，從而求出低軌道衛星的周期．抓住轉過的圓心角關系求出在同一城市的正上方出現的最小時間．

解答：解：（1）設地球的質量為M，同步衛星的質量為m，運動周期為T，因為衛星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，故
G

Mm

R2

=mR(

2π

T

)2①
同步衛星T=T₀②
而在地表面mg=G

Mm

R02

③
由①②③式解得：R=

3	gR02T02 4π2

．
（2）由①式可知T²∝R³，
設低軌道衛星運行的周期為T′，則

T′2

T2

=

( R 4 )3

R3

因而T′=

T0

8

設衛星至少每隔t時間才在同一地點的正上方出現一次，根據圓周運動角速度與所轉過的圓心角的關系θ=ωt得：

2π

T′

t=2π+

2π

T0

t
解得：t=

T0

7

，即衛星至少每隔

T0

7

時間才在同一地點的正上方出現一次．
答：（1）同步衛星的軌道半徑R=

3	gR02T02 4π2

．
（2）該衛星的周期T為

T0

8

，衛星至少每隔

T0

7

時間才在同一地點的正上方出現一次．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩大理論，知道同步衛星的周期與地球自轉的周期相等．