Question

如圖所示，在光滑的水平面上停放著一輛平板車，在車上的左端放有一木塊B．車左邊緊鄰一個固定在豎直面內、半徑為R的

1

4

圓弧形光滑軌道，已知軌道底端的切線水平，且高度與車表面相平．現有另一木塊A（木塊A、B均可視為質點）從圓弧軌道的頂端由靜止釋放，然后滑行到車上與B發生碰撞．兩木塊碰撞后立即粘在一起在平板車上滑行，并與固定在平板車上的水平輕質彈簧作用后被彈回，最后兩木塊剛好回到車的最左端與車保持相對靜止．已知木塊A的質量為m，木塊B的質量為2m，車的質量為3m，重力加速度為g，設木塊A、B碰撞的時間極短可以忽略．求：
（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大小．
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統損失的機械能．
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能．

Answer 1

（1）設木塊A到達圓弧底端時得速度為v₀，對木塊A沿圓弧下滑得過程，根據機械能守恒定律，有：
mgR=

1

2

mv₀²
在A、B碰撞得過程中，兩木塊組成得系統動量守恒，設碰撞后的共同速度大小為v₁，則：
mv₀=（m+2m）v₁，
解得：v₁=

1

3

2gR

，
（2）A、B在車上滑行的過程中，A、B及車組成的系統動量守恒．A、B滑到車的最左端時與車具有共同的速度，設此時速度大小為v，根據動量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在車上滑行的整個過程中系統損失的機械能為：
△E=

1

2

（m+2m）v₁²-

1

2

（m+2m+3m）v²=

1

6

mgR，
（3）設當彈簧被壓縮至最短時，木塊與車有相同的速度v₂，彈簧具有最大的彈性勢能E，根據動量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
設木塊與車面摩檫力為f，在車上滑行距離為L，由能量守恒，對于從A、B一起運動到將彈簧壓縮至最短的過程有：

1

2

（m+2m）v₁²=

1

2

（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
對于從彈簧被壓縮至最短到木塊滑到車的左端的過程有：

1

2

（m+2m+3m）v₂²+E=

1

2

（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=

1

12

mgR．
答：（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大小為

1

3

2gR

；
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統損失的機械能為

1

6

mgR；
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能為

1

12

mgR．