Question

豎直放置的平行金屬板M、N相距d，板間有垂直紙面向內的勻強磁場，磁感應強度為B₁，從上下極板分別引出導線，接入由兩根光滑的平行直金屬導軌及頂端的定值電阻構成的斜面，如圖．導軌間距為L，斜面傾角為θ，其下方置于一垂直導軌平面向上、磁感應強度為B₂的有界勻強磁場，邊界為EF、GH．現有質量為M，電阻為r的金屬導體棒ab，從斜面上方CD處由靜止開始沿斜面下滑，同時有一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，從M、N兩板中間左端沿中心線水平射入場區．不計粒子重力．

（1）在導體棒ab未進入有界磁場前，求粒子初速度v₀多大時，可以垂直打在金屬板上？
（2）若導體棒ab進入有界磁場后棒中電流大小始終不變，且以v₀射入平行板MN的粒子恰好能沿中心線穿過，求CD與EF的高度差h及定值電阻R．
（3）若將有界磁場的EF邊界略微下移，使得有界磁場的長寬都為L，已知導體棒ab進入有界磁場時的速度大小為v₂，要使其在外力F作用下勻減速直線運動到GH邊界時速度恰好為0，求所加外力F隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直打在金屬板上應該是恰好運動四分之一圓周，半徑為

1

2

d，由牛頓第二定律表示出粒子的半徑，然后可以求出粒子的初速度；
（2）若導體棒ab進入有界磁場后棒中電流大小始終不變，說明導體棒做勻速直線運動，根據平衡條件列方程可求出感應電流大小，粒子能沿中心線穿過說明粒子所受重力與電場力相等，列受力平衡方程可以求出極板兩端的電壓，極板兩端的電壓與R兩端電壓相等，根據歐姆定律可以求出R的大小；從而可以求出導體棒下落的速度，
根據動能定理列方程求出下落的高度h
（3）勻減速直線運動到GH邊界時速度恰好為0，根據速度位移公式求出加速度大小，然后根據牛頓第二定律列方程求出F的表達式．

解答：解：（1）在導體棒ab未進入有界磁場前，粒子在磁場中做勻速圓周運動，設軌跡半徑為r₀，則有：
qB₁v₀=

mv02

r0

…①
垂直打在金屬板上，則有：r₀=

d

2

…②
聯立①②式可得v₀=

qB1d

2m

（2）導體棒ab進入有界磁場后，根據平衡條件：
mgsinθ=B₂IL
得：I=

mgsinθ

B2L

粒子恰好能沿中心線穿過，由平衡條件：qv₀B₁=qE
得：E=v₀B₁
則U_MN=Ed=B₁v₀d
平行板電容器和R并聯，則U_MN=U_R
根據歐姆定律：R=

UR

I

．
所以有：R=

UR

I

=

B1B2v0Ld

mgsinθ

又根據動能定理：mgh=

1

2

mv²-0
得：h=

v2

2g

F_安=

B22L2v

R+r

=mgsinθ，所以：v=

mgsinθ(R+r)

B22L2

所以：CD與EF的高度差h=

v2

2g

=

m2g(R+r)2sin2θ

2B24L4

（3）當EF向下平移時，：F_安=

B22L2v2

R+r

＞mgsinθ
L=

-v22

2a

所以可得：a=

-v22

2L

，v=v₂+at
由：F_合=mgsinθ-F-F_安=ma
得：F=mgsinθ-ma-F_安=mgsinθ+

mv22

2L

-

B22L2v

R+r

=mgsinθ+

mv22

2L

-

B 2 2 L2v2

R+r

-

B 2 2 L2at

R+r

答：（1）粒子初速度v₀₌

qB1d

2m

時，可以垂直打在金屬板上
（2）CD與EF的高度差h=

m2g(R+r)2sin2θ

2 B 4 2 L4

，定值電阻R=

B1B2v0Ld

mgsinθ

（3）外力F隨時間變化的關系式：F=mgsinθ+

mv22

2L

-

B 2 2 L2v2

R+r

-

B 2 2 L2at

R+r

點評：金屬棒的切割磁感線，產生電動勢，金屬棒相當于一個電源接入電路．當金屬棒勻速直線運動，則電動勢穩定．
本題考查了僅有洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動；也有洛倫茲力與電場力相等時做勻速直線運動；也有僅有電場力讓其做類平拋運動．