Question

如圖所示，用折射率n=

2

的玻璃做成內徑為R、外徑為R′=

2

R的半球形空心球殼，一束平行光射向此半球的外表面，與中心對稱軸OO'平行，試求：
（1）球殼內部有光線射出的區域；
（2）要使球殼內部沒有光線射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？

Answer 1

分析：（1）光線射到內球面時，若入射角大于或等于臨界角時，會發生全反射，光線將不能射入球殼內部．根據折射定律求出臨界角．作出光路圖，由幾何知識求出光線射到內球面剛好發生全反射時，在外球面的折射角，由數學知識求出球殼內部有光線射出的區域．
（2）根據光路圖，由幾何知識求出遮光板的大小，確定如何放置．

解答：解：（1）設光線a′a射入外球面，沿ab方向射向內球面，
剛好發生全反射，則
   sinC=

1

n

=

1

2

∴C=45°
在△Oab中，Oa=

2

R，Ob=R
根據數學知識得

sin(180°-C)

2 R

=

sinr

R

，
得到sinr=

sinC

2

=

1

2

即 r=30°，則∠θ=C-r=45°-30°=15°
又∠O′Oa=i，由

sini

sinr

=n，得sini=nsinr=

2

2

∴i=45°
即∠O′Ob=i+θ=45°+15°=60°
當射向外球面的入射光線的入射角小于i=45°時，這些光線都會射出內球面．因此，以OO'為中心線，上、下（左、右）各60°的圓錐球殼內有光線射出．
（2）由圖中可知，h=R′sini=

2

R?

2

2

=R，
所以，至少用一個半徑為R的遮光板，圓心過OO′軸并垂直該軸放置，才可以擋住射出球殼的全部光線，這時球殼內部將沒有光線射出．
答：
（1）球殼內部有光線射出的區域為以OO′為中心線，上、下（左、右）各60°的圓錐球殼內有光線射出．
（2）要使球殼內部沒有光線射出，至少用一個半徑為R的遮光板，圓心過OO'軸并垂直該軸放置．

點評：本題是折射定律、臨界角和幾何知識的綜合應用，作出光路圖是基礎．