Question

如圖所示，傾角為37°的光滑斜面與動摩擦因素u=0.5的水平面平滑相連于B點，將一勁度系數k=500N/m的輕質彈簧的一端固定在光滑斜面的固定板上，固定板中央留有小孔，平行于斜面的細線穿過固定板的小孔和彈簧后跨過定滑輪將小物塊和大物塊連接，小物塊與彈簧接觸但不相連，小物塊質量m=5kg，大物塊質量M=6kg，水平軌道上固定一相同的輕質彈簧，自然狀態下，彈簧右端位于C點，初始時刻兩物塊靜止，小物塊位于A點．已知l_AB=0.1m，l_BC=0.06m，重力加速度g取10m/s²．現小球與細線突然斷開，求：
（1）細線未斷時，輕質彈簧的形變量x₁；
（2）在彈簧彈性限度內，物塊與水平面上的彈簧接觸并擠壓彈簧，當該彈簧獲得與斜面上的彈簧在細線剛斷開時相同的彈性勢能時，小物塊的速度v；
（3）彈簧彈性勢能E_p與形變量x滿足關系Ep=

1

2

kx2，試確定小物塊的最終位置．

Answer 1

（1）細線未斷時，大球平衡：T=Mg
小球平衡：T=mgsin37°+kx₁
解得：x₁=

3mg

5k

=

3×5×10

5×500

=0.06m
（2）物塊與BC平面上的彈簧接觸獲得與初始細線斷開時相同的彈性勢能時，彈簧壓縮0.06m．由A至水平彈簧被壓縮0.06m的過程中，由動能定理：mglABsin370-umg(lBC+x1)=

1

2

mv2-0
解得：v²=2mgl_ABsin37°-μmg（l_BC+x₁）=5×10（2×0.1×0.6-0.5×10×0.06-0.5×10×0.06）=0；
故v=0．
（3）彈簧彈力F=k△x₁=500×0.06=30N
最大靜摩擦力f=umg=0.5×5×10=25N
因為F＞f故物體會向右運動
此時彈簧彈性勢能E_P1=

1

2

kx₁²=

1

2

×500×（0.06）²=0.9J；
若物體能夠向右運動到C點W_f=umgx₁=0.5×5×0.06=1.5J＞E_p1-0
故物體在到達C點前就停止運動．設該點距離C點x₂．
由動能定理：W_T-umg（x₁-x₂）=0
又：WT=Ep1-Ep2=

1

2

k

x

21

-

1

2

k

x

22

代入數據解得：x₂=0.04m
x₂′=0.06m；
答：（1）輕質彈簧的形變量x₁為0.06m；
（2）小物塊的速度v為0；
（3）確定小物塊的最終位置距離C點0.06m．