根的定義用處大
許國泰
大家知道，
如果
是方程
的兩個根，則有
反之，若
，則
是方程
例1 已知
，則一元二次方程一定有一個實數根x=___________。
分析 當
時，有。根據方程根的定義，一元二次方程
一定有一個實數根。
例2 不解方程，求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程
的兩根的5倍。
分析 通常情況下，本題可利用一元二次方程的根與系數的關系來解。如果利用根的定義來解也比較簡單。
解 設a是方程的一個根，y表示所求方程的一個根，則
根據方程的根的定義，有
即
故所求方程為
例3 已知方程
有一個根是方程
的某個根的2倍，求m的值。
分析 每個方程最多有兩個根，若由“方程(1)的一個根是方程(2)的某個根的2倍”及求根公式寫出它們的根，則可組合出4個關于m的無理方程，要求m的值顯然很繁。利用方程根的定義來解，可以輕松求出m的值。
解 設
與
分別是方程
的根。
由根的定義，得
例4 已知
是方程
的兩實數根，則
________。
分析 代數式
不是關于的對稱多項式，無法將其化成關于
，
的代數式來解。由根的定義，知
所以
由根與系數的關系，知
所以
例5 已知一元二次方程的兩根之和為p，兩根的平方和為q，兩根的立方和為r。求ar+bq+cp的值。
分析 設
的兩個根，根據方程根的定義，得
這時
所以ar+bq+cp
例6 已知
的值。
分析 由
方程兩邊同時除以
，得
比較
可以看成是方程
的根。
又
故
所以
例7 已知
，其中m,n為實數，則
=_____
解：由
（1）當
（2）當
例8 設t是一元二次方程的一個實數根，則判別式
與平方式
的大小關系是___________。
解 由t是一元二次方程
的一個實數根，得
所以
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