秘密★啟用前
重慶一中高2009級高三下期5月月考
數 學（理科）試 題 卷 2009.5
數學試題共4頁。滿分150分。考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定的位置上。
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
第Ⅰ卷（選擇題，共
分）
一、選擇題：（本大題 10個小題，每小題5分，共50分）在每小題給出的四個選
1．已知
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．我市某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生
1500人,現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為720的樣本進行某項調查，則高
二年級應抽取的學生數為（ ）
A．180 B．240 C．480 D．720
3．曲線
在區間
上截直線
與
所得的
弦長相等且不為
，則下列描述中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，則下列函數的圖象錯誤的是（ ）
5．下列四個條件中，
是
的必要不充分條件的是（ ）
A．
，
B．，
C．
為雙曲線，
D．
，
6．設
是
的展開式中
的一次項的系數，則
的值是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．
7．設
兩地位于北緯
的緯線上，且兩地的經度差為
，若地球的半徑為
千
米，且時速為20千米的輪船從
地到
地最少需要
小時，則為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知圓
，點
，動點
在圓上，則
的最大值為（ ）A．
B． C．
D．
9．已知
為定義在
上的可導奇函數,且
（其中
是的導函數）對于
恒成立,則
的解集為（ ）
A.
B.
C.
D. 
10．拋物線
過焦點的弦
，過該弦端點
的兩條切線的交點為
，則
的面積的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共
分）
卡相應位置上，只填結果，不要過程）。
二、填空題：（本大題5個小題，每小題5分，共25分）各題答案必須填寫在答題
11．在等比數列
中，且
，則
___________。
12．已知函數
在上連續，則
_________________。
13．三棱錐
中，
平面
，
，
為
中點，
為
中點，則點到直線
的距離等于________________。
14．在同一平面內，已知
，且
。若
，則
的面積等于________________。
15．有機化學中一烷烴起始物的分子結構式是
,將其中的所有氫原子用甲基取代得到：
,再將其中的12個氫原子全部用甲基代換,如此循環以至無窮,球形烷烴分子由小到大成一系列,則在這個系列中,由小到大第
個分子中含有的碳原子的個數是____________________。
定的方框內（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）。
三、解答題：（本大題6個小題，共75分）各題解答必須答在答題卷上相應題目指
16．（13分）在
中，已知
，
。
（1）求
；
（2）求證：
。
17．（13分）設點
是區域
內的隨機整點（整點是指橫、縱坐標都
為整數的點）。
（1）已知關于的一元二次函數
，求函數
上是增函數的概率；
（2）設區域內的隨機整點的橫、縱坐標之和構成隨機變量
，求的分布列與期望。
18．（13分）如圖，已知平行四邊形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
是線段
的中點。
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）設點
為一動點，若點從出發，
沿棱按照
的路線運動到
點
，求這一過程中形成的三棱錐
的體積的最小值。
19．（12分）若存在實常數
和
，使得函數和
對其定義域上的任意實數
分別滿足：
和
，則稱直線
為和的“分
界直線”，已知
（其中
為自然對數的底數）。
（1）求
的極值；
（2）函數
和
是否存在分界直線？若存在，求出此分界直線方程；若不存在，請說明理由。
20．（12分）已知圓交軸于兩點，
曲線是以為長軸，直線
為準線的橢圓。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若是直線
上的任意一點，以
為直徑的圓
與圓
相交于
兩點，求證：直線
必過
定點，并求出點的坐標；
（3）如圖所示，在（2）的條件下，若直線與橢圓
交于
兩點。試問在軸上是否存在定點
，
使
恒為定值
？若存在，求出點的坐標及
實數的值；若不存在，請說明理由。
21．（12分）設數列
。
（1）求證：
；
（2）設
求證：
。
命題：鄒發明
審題：謝 凱
重慶一中高2009級高三下期5月月考考試
1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D
11. 
12. 2 13. 
14. 
15. 
16．解：（1）∵
，∴
，
∵
，∴
, 
即
邊的長度為
。
（2）由
，得
…………①
，即
…………②
由①②得
，由正弦定理
，∴
，即證。
17． 解：（1）∵函數
的圖象的對稱軸為
要使在區間
上為增函數，當且僅當
且
。
依條件可知試驗的全部結果為
，即
共15個整點。
所求事件為
，即
共5個整點，∴所求事件
的概率為
。
（2）隨機變量
的取值有：2，3，4，5，6。的隨機分布列為：
2
3
4
5
6
隨機變量的期望
。
18．解法一：（1）易求
，從而
，由三垂線定理知：
。
（2）法一：易求
由勾股定理知
，設點
在面
內的射影為
，過作
于
，連結
，則
為二面角
的平面角。在
中由面積法易求
，由體積法求得點到面的距離是
，所以
，所以求二面角的大小為
。
法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作
交
于
，連結
。則易證
為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而
于是
，所以
，在
中由余弦定理求得
。再在
中由余弦定理求得
。最后在
中由余弦定理求得
，所以求二面角的大小為
。
（3）設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P―BFD的體積的最小。
。
解法二：空間向量解法，略。
19.解：（1）
當
時，
當
時，
此時函數
遞減；當
時，
此時函數遞增；
當時，取極小值，其極小值為0。
（2）由（1）可知函數
和
的圖像在處有公共點，因此若存在和的分界直線，則該直線過這個公共點。設分界直線的斜率為
則直線方程為
即
由
可得
當
時恒成立
由
得
。
下面證明
當
時恒成立。
令
則
當時，
。當時，
此時函數
遞增；當時，
此時函數遞減；當時，取極大值，其極大值為0。
從而
即
恒成立。
函數和存在唯一的分界直線
。
20．解：（1）設橢圓的標準方程為
，則：
，從而：
，故
,所以橢圓的標準方程為
。
（2）設
，則圓
方程為
,與圓
聯立消去
得
的方程為
，過定點
。
（3）將
與橢圓方程聯立成方程組消去
得：
,設
，則
。
，
所以
。
故存在定點
，使
恒為定值
。
21．解：（1）法一：數學歸納法；
法二：
所以
為首項為
公比為2的等比數列，
，即證。
法三：，兩邊同除以
，轉化為疊加法求數列通項類型。
（2）法一：容易證明
單調遞增，
。由函數
割線斜率與中點切線斜率的關系想到先證
，即證
，即證
。令
下證
。事實上，構造函數
，則
，
，所以
在
上單調遞增，故
，則
，即證
。
于是由有
，
（因為
）。
法二：要證
，即證
，聯想到熟悉的不等式（證明如法一）。令
，則
，即證
，下同方法一。
法三：聯想到熟悉的不等式
（證略）。令，則
，即證
而
，但驗算當
時
不成立。故單獨驗證
時原不等式成立，經驗證成立。下用數學歸納法證
成立。
由，則
，作差有
。
①當
時，
成立。
②假設
時，
，則
當
時，
，
下證
，顯然。所以，命題對時成立。綜上①②即證。
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