秘密★啟用前
2009年重慶一中高2009級5月月考
數 學(文科)試 題 卷 2009.5
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1． 如果
，那么正確的結論是（ ）
A．
B．
C．{0}
D．
2．
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量
，則向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．設映射
是實數集
到實數集
的映射，若對于實數
，
在中不存在原象，則的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在數列
中，若
，且
，則
（ ）
A．2007 B．
6．要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函數
(
是自然對數的底數)的反函數為
，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．半徑為1的球面上有三點A、B、C，其中A與B、C兩點間的球面距離均為
，B、C兩點間的球面距離為
，則球心到平面ABC的距離為（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知函數
在區間
上是增函數,則實數
的取值范圍是( )
(A)(
,4) (B)(-4,4] (C)( ,-4)∪[2,
) (D)[-4,2)
10．已知
，若方程
的兩個實數根可以
分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．
的常數項是
（用數字作答）．
12．在
中，
，
，
所對的邊分別是，
，
，已知
，則
．
13．已知實數
滿足條件
，則
的最大值為
；
14．以橢圓兩焦點為直徑的端點的圓交橢圓于四個不同點，順次連結這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于 ；
15．已知函數
為偶函數，且滿足不等式
，則的值為
．
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本題滿分13分) 已知函數
．
（Ⅰ）求函數
的周期和最大值；
（Ⅱ）已知
，求
的值．
17．(本題滿分13分)
(Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率．
18．(本題滿分13分)如圖，已知正三棱柱
的各棱長都為
，為棱
上
的動點．
(Ⅰ)當
時，求證：
；
(Ⅱ) 若
，求二面角
的大小．
19．(本題滿分12分)已知函數
，函數
的圖像在點
的切線方程是
．
(Ⅰ)求函數
的解析式；
(Ⅱ)若函數在區間
上是單調函數，求實數
的取值范圍．
20．(本題滿分12分)過
軸上動點
引拋物線
的兩條切線
、
，、
為切點．
(Ⅰ)若切線，的斜率分別為
和
，求證：
為定值，并求出定值；
(Ⅱ) 求證：直線
恒過定點，并求出定點坐標；
(Ⅲ)當
最小時，求
的值．
21．(本題滿分12分)已知數列中，
，
，其前
項和
滿足
，令
.
(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)令
，求證：
①對于任意正整數，都有
． ②對于任意的
，均存在
，使得
時，
．
2009年重慶一中高2009級5月月考
數學(文科)試題卷答案 2009.5
一、CDDBC;ACBBA.
三．解答題：
16. 解：解：（Ⅰ）
＝
．∴周期為
， 最大值為6 ；
（Ⅱ）由
，得
．
∴
． ∴
，
， ∴
．
17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、
、
，則
，且有
，即
∴
（2）由（1）
,
.
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：
18. 解（1）當
時，取
的中點
，連接
，因為為正三角形，則
，由于為
的中點時，
∵
平面
,∴
平面,
∴
.
（2）當
時，過作
于
,如圖所示，則
底面
,過作
于
,連結
，則
,
為二面角的平面角，又
,
又
，
,
二面角的大小為
.
19. 解：(Ⅰ)
，在點
處的切線
即
，故與表示同一條直線，
，
即
，
，
.
(Ⅱ) 由于
，
則
或
，所以函數的單調區間是
故
或
或
或
或
，
或
或，
.
20. 解：（Ⅰ）設過
與拋物線
的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為：
，由
得
，
是方程
的解，故
（Ⅱ）設
由于
，故切線的方程是：
，又由于點在上，則
則
，
，同理
則直線
的方程是
，則直線過定點
.
（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，
而到直線的距離
，當且僅當
即
時取等號. 設
由
得
，則
.
21. 解：(Ⅰ)由題意知
即
檢驗知
時，結論也成立故
.
①
由于
②若，其中，則有
，則
，
故
，
取
（其中
表示不超過的最大整數），則當時，. 即
到平面
的距離為
.
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