2008學年浙江省五校第一次聯考
數學（理科）試題卷
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．下列關系中不是相關關系的是（ ）
（A）產品投入的廣告費與產品的銷售量 （B）數軸上的點與實數
（C）人的身高與體重的大小 （D）一天中的時間與氣溫的高低
2．設
，則
的大小關系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知
滿足：
，
，則BC的長（ ）
（A）2 （B）1 （C）1或2 （D）無解
4．下面框圖表示的程序所輸出的結果是（ ）
（A）3 （B）12 （C）60 （D）360
5．定義運算：
，則
的值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．在中，
，如果不等式
恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．函數
有且僅有一個正實數的零點，則實數
的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．已知實數
滿足：
（其中
是虛數單位），若用
表示數列
的前
項的和，則的最大值是（ ）
（A）16 （B）15 （C）14 （D）12
9．下列命題中：①函數
的最小值是
；②在中，若
，則是等腰或直角三角形；③如果正實數滿足
，則
；④如果
是可導函數，則
是函數在
處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是（ ）
（A）①②③④ （B）①④ （C）②③④ （D）②③
10．設
，定義
，如果對
，不等式
恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.
11．
▲
．
12．
的展開式中
項的系數為210，則實數的值為
▲ ．
13．設
，且
，則
的值是 ▲ （用
表示）．
14．已知
，且
，則實數的值為
▲ ．
15．已知定義在
上的函數
，滿足
，且對任意的都有
，則
▲ ．
16．如果實數滿足條件：
，則
的最大值是 ▲ ．
17．在一個圓周上有間距不同的9個點，以這9個點為頂點作沒有公共頂點的3個三角形，則其不同的3個三角形的邊不相交的概率是 ▲ ．
三、解答題
18．（本小題滿分14分）已知函數
，
是的導函數．
（Ⅰ）求函數
的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）若
，求
的值.
19．（本小題滿分14分）把一根長度為7的鐵絲截成3段．
（Ⅰ）如果三段的長度均為整數，求能構成三角形的概率；
（Ⅱ）如果把鐵絲截成2，2，3的三段放入一個盒子中，然后有放回地摸4次，設摸到長度為2的次數為
，求
與
；
（Ⅲ）如果截成任意長度的三段，求能構成三角形的概率．
20．(本小題滿分14分）在中，滿足：
，
是
的中點．
（I）若
，求向量
與向量
的夾角的余弦值；
（II）若
是線段
上任意一點，且
，求的最小值；
（Ⅲ）若點
是邊上一點，且
，
求
的最小值．
21.（本小題滿分15分）已知函數
，數列
滿足：
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）求證不等式：
．
22.（本小題滿分15分）已知函數
．
（Ⅰ）若函數與
的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數的值并求點P的坐標；
（Ⅱ）若函數與的圖象有兩個不同的交點M、N，求的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過線段MN的中點作軸的垂線分別與的圖像和
的圖像交S、T點，以S為切點作的切線
，以T為切點作的切線
．是否存在實數使得
，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．
2008學年浙江省五校第一次聯考
數學（理）答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
D
C
B
A
C
D
二．填空題
11．2
12．
13．
14．4
15．
16．
17．
三．解答題
18．（Ⅰ）∵
2分
∴
5分
∴ 當
時，
最小正周期為
7分
（Ⅱ）∵
∴
10分
∴ 
14分
19． （Ⅰ）設構成三角形的事件為
基本事件數有4種情況：“1，1，
其中能構成三角形的情況有2種情況：“1，3，
則所求的概率是
4分
（Ⅱ）根據題意知隨機變量
∴
8分
（Ⅲ）設把鐵絲分成任意的三段，其中一段為，第二段為
，則第三段為
則
10分
如果要構成三角形，則必須滿足：
12分
則所求的概率為
14分
20．（Ⅰ）設向量與向量的夾角為
∴
令
∴
4分
（Ⅱ）∵，∴
設
，則
，而
∴
當且僅當
時，
的最小值是
．
9分
（Ⅲ）設
∵
，
，
∴ 
，
∴
當且僅當
時，
．
14分
21．（Ⅰ）
當
時，
，即
是單調遞增函數；
當
時，
，即是單調遞減函數；
所以
，即
是極大值點，也是最大值點
，當時取到等號．
5分
（Ⅱ）由
得
方法1 
即數列
是等差數列，首項為
，公差為
∴
10分
方法2利用函數不動點
方法3利用觀察、歸納、猜想、數學歸納法證明
（Ⅲ）
又∵時，有
令
，則
∴
∴
15分
用數學歸納法證，酌情給分
22．（Ⅰ）設函數與的圖象的公共點
，則有
①
又在點P有共同的切線
∴
代入①得
設
所以函數
最多只有1個零點，觀察得
是零點，
∴
，此時
5分
（Ⅱ）方法1 由
令
當
時，
，則
單調遞增
當
時，
，則單調遞減，且
所以在
處取到最大值
，
所以要使
與
有兩個不同的交點，則有
10分
方法2 根據（Ⅰ）知當時，兩曲線切于點
，此時變化的的對稱軸是，而是固定不動的，如果繼續讓對稱軸向右移動即
，兩曲線有兩個不同的交點，當
時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以.
（Ⅲ）不妨設
，且
，則
中點的坐標為
以S為切點的切線的斜率
以T為切點的切線的斜率
如果存在使得
，即
①
而且有
和
如果將①的兩邊同乘
得 
即
設
，則有
令
∵
，∴
因此
在上單調遞增，故
所以不存在實數使得．
15分
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