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（1）復數的值是                                                                                                     （A）－1         （B）1             （C）－32           （D）32

（2）tan15°+cot15°的值是                                                                                 

       （A）2                 （B）2+        （C）4                 （D）

（3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件；

    命題q：函數y=的定義域是（－∞，－1∪[3，+∞.則                     （A）“p或q”為假         （B）“p且q”為真  

       （C）p真q假                                      （D）p假q真

（4）已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF₂是真正三角形，則這個橢圓的離心率是   

       （A）            （B）            （C）            （D）

（5）已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面，有下列命題：

①若mα，n∥α，則m∥n；

②若m∥α，m∥β，則α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.

其中真命題的個數是                                                                                       

       （A）0              （B）1               （C）2              （D）3

（6）某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為                                                                                

       （A）                                      （B）     

（C）                                         （D）

（7）已知函數y=log₂x的反函數是y=f^―1(x)，則函數y= f^―1(1－x)的圖象是      

（8）已知a、b是非零向量且滿足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，則a與b的夾角是          （A）          （B）        （C）                 （D）

（9）若(1-2^x)⁹展開式的第3項為288，則的值是                       （A）2     （B）1             （C）               （D）

（10）如圖，A、B、C是表面積為48π的球面上三點，

AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，則直線

OA與截面ABC所成的角是

       （A）arcsin                                        （B）arccos

       （C）arcsin                                         （D）arccos

（11）定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x∈[3，5]時，f(x)=2－|x－4|，則     （A）f(sin)<f(cos)                   （B）f(sin1)>f(cos1)

       （C）f(cos)<f(sin)                （D）f(cos2)>f(sin2)

（12）如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C

地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流

的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離

比到B的距離遠2 km.現要在曲線PQ上

選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運

貨物.經測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，

那么修建這兩條公路的總費用最低是

       （A）(2－2)a萬元                           （B）5a萬元            

       （C）(2+1) a萬元                           （D）(2+3) a萬元

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

（13）直線x+2y=0被曲線x²+y²－6x－2y－15=0所截得的弦長等于            .

   (x≠0)，

（14）設函數f(x)=      a    (x=0).       在x=0處連續，則實數a的值為            .

（15）某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結論：

①他第3次擊中目標的概率是0.9；

②他恰好擊中目標3次的概率是0.9³×0.1；

③他至少擊中目標1次的概率是1-0.1⁴.

其中正確結論的序號是            （寫出所有正確結論的序號）.

（16）如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各

切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一

個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的

底面邊長為         時，其容積最大.

（17）（本小題滿分12分）

設函數f(x)=a?b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

（Ⅱ）若函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函數y=f(x)的圖象，求實數m、n的值.

（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（Ⅰ）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；

（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

（19）（本小題滿分12分）

在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.

（Ⅰ）證明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N―CM―B的大小；

（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離.

（20）（本小題滿分12分）

某企業2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數）.

（Ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術改造后的累計純利潤為B_n萬元（須扣除技術改造資金），求A_n、B_n的表達式；

（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

（21）（本小題滿分14分）

     已知f(x)=(x∈R)在區間[－1，1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（22）（本小題滿分12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.

（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.

2004年普通高等學校招生全國統一考試

數學答案（理工類）（福建卷）

（1）A      （2）C     （3）D     （4）A     （5）B     （6）C 

（7）B      （8）B     （9）A     （10）D    （11）D    （12）B

（13）4    （14）1/2    （15）1，3   （16）2/3  

（17） 本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題設，f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.

∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，

即x=-.

（Ⅱ）函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數y=f(x)的圖象.

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵|m|<，∴m=-，n=1.

（18）本小題主要考查概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題意，甲答對試題數ξ的概率分布如下：

ξ

0

1

2

3

P

甲答對試題數ξ的數學期望

Eξ=0×+1×+2×+3×=.

（Ⅱ）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

P(A)===，

P(B)===.

因為事件A、B相互獨立，

方法一：

∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為

P()=P()P()=1－)(1－)=.

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

P=1－P()=1－=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

方法二：

∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為

P=P(A?)+P(?B)+P(A?B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

=×+×+×=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

（19）本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.

解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

過E作EF⊥CM于F，連結NF，

則NF⊥CM.

∴∠NFE為二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N―CM―B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM?NF=，S_△CMB=BM?CM=2.

設點B到平面CMN的距離為h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN?h=S_△CMB?NE，

∴h==.即點B到平面CMN的距離為.

解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結OS、OB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面  ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標系O－xyz.

則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，－2），

∵?=（－4，0，0）?（0，2，－2）=0，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，

           ?n=3x+y=0，

則                                    取z=1，則x=，y=-，

?n=－x+z=0，

∴n=(，－，1)，

又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，

∴cos(n，)==.

∴二面角N－CM－B的大小為arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）為平面CMN的一個法向量，

∴點B到平面CMN的距離d==.

（20）本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數學知識解決實際問題的能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）依題設，A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n²；

B_n=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.

（Ⅱ）B_n－A_n=(500n－－100) －(490n－10n²)

=10n²+10n－－100=10[n(n+1) － －10].

因為函數y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上為增函數，

當1≤n≤3時，n(n+1) － －10≤12－－10<0；

當n≥4時，n(n+1) － －10≥20－－10>0.

∴僅當n≥4時，B_n>A_n.

答：至少經過4年，該企業進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.

（21）本小題主要考查函數的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①                                －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.     

方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a<0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩實根，

             x₁+x₂=a，

∴                            從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

         g(－1)=m²－m－2≥0，

②

             g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二： 當m=0時，②顯然不成立；   當m≠0時，

          m>0，                   m<0，

②                      或

            g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

（22）本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依題意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，           ①

得y＇=x.

∴過點P的切線的斜率k_切= x₁，∵x₁=0不合題意，∴x₁≠0