十年高考分類解析與應試策略數學
第一章 集合與簡易邏輯
●考點闡釋
集合的初步知識與簡易邏輯知識，是掌握和使用數學語言的基礎.
集合知識可以使我們更好地理解數學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數學問題，運用集合觀點去研究和解決數學問題.
邏輯是研究思維形式及其規律的一門學科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養學生的推理技能，發展學生的思維能力.
重點掌握：
（1）強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用文氏圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練.
（2）要正確理解“充分條件”“必要條件”“充要條件”的概念.數學概念的定義具有對稱性，即數學概念的定義可以看成充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質.
●試題類編
一、選擇題
1.（2003京春理，11）若不等式|ax+2|<6的解集為（－1，2），則實數a等于（ ）
A.8
B
2.（2002京皖春，1）不等式組
的解集是（ ）
A.{x|－1＜x＜1
B.{x|0＜x＜3
C.{x|0＜x＜1 D.{x|－1＜x＜3}
3.（2002北京，1）滿足條件M∪{1}={1，2，3}的集合M的個數是（ ）
A.4 B
4.（2002全國文6，理5）設集合M={x|x=
，k∈Z}，N={x|x=
，k∈Z}，則（ ）
A.M=N B.M
N C.M
N D.M∩N=
5.（2002河南、廣西、廣東7）函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是（ ）
A.ab=0 B.a+b=
6.（2001上海，3）a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+（a－1）y=a－7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要條件
7.（2000北京春，2）設全集I={a，b，c，d，e}，集合M={a，b，c}，N={b，d，e}，那么
IM∩IN是（ ）
A. B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
8.（2000全國文，1）設集合A＝｛x｜x∈Z且－10≤x≤－1｝，B＝｛x｜x∈B且｜x｜≤5｝，則A∪B中元素的個數是（ ）
A.11 B.10 C.16 D.15
9.（2000上海春，15）“a=1”是“函數y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件
10.（2000廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數是（ ）
A.15 B.16
C.3 D.4
11.（1999全國，1）如圖1―1，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩S B.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩IS D.（M∩P）∪IS
12.（1998上海，15）設全集為R，A＝｛x｜x2－5x－6＞0｝，B＝｛x｜|x－5｜＜a｝（a為常數），且11∈B，則（ ）
A.RA∪B＝R B.A∪RB＝R
C.RA∪RB＝R D.A∪B＝R
13.（1997全國，1）設集合M=｛x｜0≤x＜2｝，集合N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝，集合M∩Ｎ等于（ ）
A.｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜0≤x＜2
C.｛x｜0≤x≤1｝ D.｛x｜0≤x≤2｝
14.（1997上海，1）設全集是實數集R，M＝｛x｜x≤1＋
，x∈R｝，N＝｛1，2，3，4｝，則RM∩N等于（ ）
A.｛4｝ B.｛3，4｝
C.｛2，3，4｝ D.｛1，2，3，4｝
15.（1996上海，1）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N為（ ）
A.x=3，y=－1 B.（3，－1）
C.{3，－1} D.{（3，－1）}
16.（1996全國文，1）設全集I＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛3，5｝，則（ ）
A.I＝A∪B B.I＝IA∪B
C.I＝A∪IB D.I＝IA∪IB
17.（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ）
A.I＝A∪B B.I＝IA∪B
C.I＝A∪IB D.I＝IA∪IB
18.（1996上海文，6）若y=f（x）是定義在R上的函數，則y=f（x）為奇函數的一個充要條件為（ ）
A.f（x）=0
B.對任意x∈R，f（x）=0都成立
C.存在某x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）=0
D.對任意的x∈R，f（x）+f（－x）=0都成立
19.（1995上海，2）如果P＝｛x｜（x－1）（2x－5）＜0，Q＝｛x｜0＜x＜10｝，那么（ ）
A.P∩Q＝
B.PQ
C.PQ D.P∪Q＝R
20.（1995全國文，1）已知全集I＝｛0，－1，－2，－3，－4｝，集合M＝｛0，－1，－2｝，N＝｛0，－3，－4｝，則IM∩N等于（ ）
A.｛0｝ B.｛－3，－4｝
C.｛－1，－2｝ D.
21.（1995全國理，1）已知I為全集，集合M、NI，若M∩N＝N，則（ ）
A.IM
IN B.MIN
C. IMIN D.MIN
22.（1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（ ）
A.必要條件但不是充分條件 B.充分條件但不是必要條件
C.充分必要條件 D.既不是充分條件又不是必要條件
23.（1994全國，1）設全集I＝｛0，1，2，3，4｝，集合A＝｛0，1，2，3｝，集合B＝｛2，3，4｝，則IA∪IB等于（ ）
A.｛0｝ B.｛0，1｝
C.｛0，1，4｝ D.｛0，1，2，3，4｝
24.（1994上海，15）設I是全集，集合P、Q滿足PQ，則下面的結論中錯誤的是（ ）
A.P∪IQ= B.IP∪Q=I
C.P∩IQ= D.IP∩IQ=IP
二、填空題
25.（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數a的取值范圍是_____.
26.（2002上海春，3）若全集I=R，f（x）、g（x）均為x的二次函數，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，則不等式組
的解集可用P、Q表示為_____.
27.（2001天津理，15）在空間中
①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；
②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線.
以上兩個命題中，逆命題為真命題的是_____.
28.（2000上海春，12）設I是全集，非空集合P、Q滿足PQI.若含P、Q的一個集合運算表達式，使運算結果為空集，則這個運算表達式可以是
（只要寫出一個表達式）.
29.（1999全國，18）α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷:
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：_____.
三、解答題
30.（2003上海春，17）解不等式組
.
31.（2000上海春，17）已知R為全集，A={x|log
（3－x）≥－2}，B={x|
≥1}，求RA∩B.
32.（1999上海，17）設集合A={x||x－a|<2}，B={x|
<1}，若A
B，求實數a的取值范圍.
●答案解析
1.答案：C
解析：∵|ax+2|<6，∴－6<ax+2<6，－8<ax<4
當a>0時，有
，而已知原不等式的解集為（－1，2），所以有：
.此方程無解（舍去）.
當a<0時，有，所以有
解得a=－4，當a=0時，原不等式的解集為R，與題設不符（舍去），故a=－4.
評述：本題主要考查絕對值不等式的解法，方程的根與不等式解集的關系，考查了分類討論的數學思想方法及邏輯思維能力，此題也可以利用選項的值代入原不等式，去尋找滿足題設條件的a的值.
2.答案：C
解析：依題意可得
，可得0＜x＜1.
3.答案：C
解析：M={2，3}或M={1，2，3}
評述：因為M{1，2，3}，因此M必為集合{1，2，3}的子集，同時含元素2，3.
4.答案：B
解析：方法一：可利用特殊值法，令k=－2，－1，0，1，2可得
∴MN
方法二：集合M的元素為：
（k∈Z），集合N的元素為：x=
（k∈Z），而2k+1為奇數，k+2為整數，因此MN.∴MN
5.答案：D
解析：若a2+b2=0，即a=b=0時，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）為奇函數的充分條件.
又若f（x）為奇函數即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），則
必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）為奇函數的必要條件.
6.答案：C
解析：當a=3時，直線l1：3x+2y+9=0，直線l2：3x+2y+4=0
顯然a=3
l1∥l2.
7.答案：A
解析：∵IM={b，e}，IN={a，c}，∴IM∩IN=.
8.答案：C
解析：∵A＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1｝
B＝｛－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝
∴A∪B＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝共有16個元素.
9.答案：A
解析：若a=1，則y=cos2x－sin2x=cos2x，此時y的最小正周期為π，故a=1是充分條件.
而由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax，此時y的周期為
=π，
∴a=±1，故a=1不是必要條件.
評述：本題考查充要條件的基本知識，難點在于周期概念的準確把握.
10.答案：A
解析：根據子集的計算應有24－1=15（個）.
評述：求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集.同時，A不是A的真子集.
11.答案：Ｃ
解析：由圖知陰影部分表示的集合是M∩P的子集且是IS的子集，故答案為Ｃ．
評述：本題源于課本，屬送分題，是前幾年高考題的回歸.
12.答案：D
解析：由已知A={x|x>6或x<－1}，B={x|5－a<x<5+a}，而11∈B，
∴
a>6.
此時：5－a<－1，5+a>6，∴A∪B=R.
評述：本題考查集合基本知識，一元二次不等式、絕對值不等式的解法及分析問題解決問題的能力.
13.答案：B
解析：方法一：N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝＝｛x｜－1＜x＜3｝，所以M∩N＝｛x｜0≤x＜2｝，故選B.
方法二：由（
）2－2?（）－3＜0，知1.5∈N，又1.5∈M，因此1.5∈M∩N，從而排除A、Ｃ；由交集定義與M的表達式，可排除D，得B.
評述：本題考查對交集的理解和掌握，所設定的集合實質是不等式的解集，兼考處理不等式解集的基本技能.
14.答案：B
解析：RM={x|x>1+，x∈R}，又1+<3.
故RM∩N={3，4}.故選B.
15.答案：D
解析：
方法一：解方程組
得
故M∩N＝｛（3，－1）｝，所以選D.
方法二：因所求M∩N為兩個點集的交集，故結果仍為點集，顯然只有D正確.
評述：要特別理解集合中代表元素的意義，此題迎刃而解.
16.答案：Ｃ
解析：方法一：顯然IB＝｛1，2，4，6，7｝，
于是A∪IB＝I，故選Ｃ.
方法二：利用文氏圖1―3知I＝A∪IB，應選Ｃ.
17.答案：Ｃ
解析：方法一：IA中元素是非2的倍數的自然數，IB中元素是非4的倍數的自然數，顯然，只有Ｃ選項正確.
方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以IB＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪IB，故答案為Ｃ.
方法三：因BA，所以IAIB，IA∩IB＝IA，故I＝
A∪IA＝A∪IB.
方法四：根據題意，我們畫出文氏圖1―4來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=
A∪IB是成立的.
評述：本題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求.
18.答案：D
解析：由奇函數定義可知：若f（x）為奇函數，則對定義域內任意一個x，都有f（－x）=－f（x），即f（－x）+f（x）=0，反之，若有f（x）+f（－x）=0，即f（－x）=－f（x），由奇函數的定義可知f（x）為奇函數.
評述：對于判斷奇偶性問題應注意：x為定義域內任意值，因此定義域本身應關于原點對稱，這是奇偶性問題的必要條件.
19.答案：B
解析：由集合P得1<x<
，由集合Q有0<x<10.利用數軸上的覆蓋關系，易得PQ.
20.答案：B
解析：由已知IM={－3，－4}，∴IM∩N={－3，－4}.
21.答案：C
解析一：∵M∩N=N，∴NM，∴INIM
解析二：畫出韋恩圖1―5，顯然：IMIN.故選C.
評述：本題主要考查集合的概念和集合的關系，題目中不給出具體集合，對分析問題解決問題能力提高了要求.
22.答案：A
解析：如果方程ax2+by2=c表示雙曲線，即
表示雙曲線，因此有
，即ab<0.這就是說“ab<0”是必要條件；若ab<0，c可以為0，此時，方程不表示雙曲線，即ab<0不是充分條件.
評述：本題考查充要條件的推理判斷和雙曲線的概念.
23.答案：C
解析：∵IA={4}，IB={0，1}，∴IA∪IB={0，1，4}.
24.答案：D
解析：依題意畫出文氏圖：如圖1―6，顯然A、B、C均正確，故應選D.
25.答案：a≤－2
解析：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數軸上覆蓋關系：如圖1―7
因此有a≤－2.
評述：本題主要考查集合的概念和集合的關系.
26.答案：P∩IQ
解析：∵g（x）≥0的解集為Q，所以g（x）<0的解集為IQ，因此的解集為P∩IQ.
評述：本題以不等式為載體，重點考查集合的補集、交集的概念及其運算，活而不難.
27.答案：②
解析：①中的逆命題是：若四點中任何三點都不共線，則這四點不共面.
我們用正方體AC1做模型來觀察：上底面A1B1C1D1中任何三點都不共線，但A1B1C1D1四點共面，所以①中逆命題不真.
②中的逆命題是：若兩條直線是異面直線，則兩條直線沒有公共點.
由異面直線的定義可知，成異面直線的兩條直線不會有公共點.
所以②中逆命題是真命題.
評述：本題考查點共線、點共面和異面直線的基本知識，考查命題的有關概念.
28.答案：P∩IQ
解析：陰影部分為IQ（如圖1―8）
顯然，所求表達式為IQ∩P=，
或IQ∩（Q∩P）或IQ∩（Q∪P）=.
評述：本題考查集合的關系及運算.
29.答案：m⊥α，n⊥β，α⊥β
m⊥n，或m⊥n，m⊥α，
n⊥βα⊥β.（二者任選一個即可）
解析：假設①、③、④為條件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，
如圖1―9，過m上一點P作PB∥n，則PB⊥m，PB⊥β，設垂足為B.
又設m⊥α的垂足為A，
過PA、PB的平面與α、β的交線l交于點C，
因為l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，得l⊥AC，l⊥BC，∠ACB是二面角α－l－β的平面角.
顯然∠APB+∠ACB=180°，因為PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①、③、④推得②成立.
反過來，如果②、③、④成立，與上面證法類似可得①成立.
評述：本題主要考查線線、線面、面面之間關系的判定與性質，但題型較新穎，主要表現在：題目以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學生能將其組裝成具有一定邏輯關系的整體，解題的關鍵是將符號語言轉化為圖形語言.考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現了加強能力考查的方向.
30.解：由x2－6x+8>0，得（x－2）（x－4）>0，∴x<2或x>4.
由
>2，得
>0，∴1<x<5.
∴原不等式組的解是x∈（1，2）∪（4，5）
評述：本題主要考查二次不等式、分式不等式的解法.
31.解：由已知log
（3－x）≥log4，因為y=logx為減函數，所以3－x≤4.
由
，解得－1≤x<3.所以A={x|－1≤x<3}.
由≥1可化為
解得－2<x≤3，所以B={x|－2<x≤3}.
于是RA={x|x<－1或x≥3}.故RA∩B={x|－2<x<1或x=3}
評述：本題主要考查集合、對數性質、不等式等知識，以及綜合運用知識能力和運算能力.
32.解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}.
由<1，得
<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}.
因為AB，所以
，于是0≤a≤1.
評述：這是一道研究集合的包含關系與解不等式相結合的綜合性題目.主要考查集合的概念及運算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法.在解題過程中要注意利用不等式的解集在數軸上的表示方法.體現了數形結合的思想方法.
●命題趨與應試策略
1.有關集合的高考試題.考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用文氏圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練.
2.有關“充要條件”、命題真偽的試題.主要是對數學概念有準確的記憶和深層次的理解.
試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對基本知識、基本題型，求解準確熟練.
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