2006－2007學年度南通市九校（學科基地）聯考
（南通中學 南通市一中 海門中學 啟東中學 通州中學 如東中學 如皋中學 海安中學 ?茶中學)
數 學 試 卷
注 意 事 項
考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求
1、本試卷共4頁，包含選擇題（第1題～第10題，共10題）、填空題（第11題～第16題，共6題）、解答題（第17題～第21題，共5題）三部分。本次考試時間為120分鐘。
2、答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在試卷及答題卡上。
3、作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。
4、如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚。
參考公式：
三角函數的和差化積公式
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分
在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的
1．如圖陰影部分所表示的集合是
A．CIA∩B B．A∩CIB
C．CIA∪B D．A∪CIB
2．已知點P為圓x2+y2－2x+2y=0的圓心，則點P到直線x－y＋1＝0的距離是
A． 
B． 
C． 
D．
3．設f(x)＝
，則f[f()]＝
A． B．
C．－
D． 
4．設x，y滿足不等式組
則z=3x－2y的最大值是
A．0 B．
5．已知拋物線y2=8x,定點A（3,2），F為焦點，P為拋物線上的動點，則｜PF｜＋｜PA｜的最小值為
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知△ABC，若對任意t∈R，≥，則
A．∠A=900 B．∠B＝
7．已知直線
是函數
圖象的一條對稱軸，則函數
圖象的一條對稱軸方程是
A．
B．
C．
D．
8．已知數列
的通項
則下列表述正確的是
A ．最大項為0，最小項為
B．最大項為0，最小項不存在
C．最大項不存在，最小項為
D．最大項為0，最小項為
9．已知三棱錐S－ABC的底面是正三角形，點A在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，則此三棱錐體積最大值是
A．
B.
C.
D.
10．將9個學生分配到甲、乙、丙三個宿舍，每宿舍至多4人（床鋪不分次序），則不同的分配方法有
A．3710
B．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 不需要寫出解答過程，請把答案直接填空在答題卡相應位置上
11．在平行四邊形ABCD中，
=a，
=b，
，M為BC的中點，則
▲ ．（用a，b表示）。
12．不等式3－
<x的解集是 ▲ ．
13．若在(x+1)4(ax－1)2的展開式中，x3的系數是20，則a=___▲______.
14．橢圓
與直線
交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為
，則 值 = ▲ ．
15．在△ABC中，cosB為sinA、sinC的等比中項，sinB為cosA、cosC的等差中項，則∠B= ▲ ．
16． 給出下列四個命題：
①過平面外一點，作與該平面成θ角的直線一定有無窮多條。
②一條直線與兩個相交平面都平行，則它必與這兩個平面的交線平行；
③對確定兩條異面直線,過空間任意一點有且只有唯一的一個平面與這兩條異面直線都平行；
④對兩條異面的直線，都存在無窮多個平面與這兩條直線所成的角相等；
其中正確的命題序號為: ▲ 。
三、解答題：本大題共5小題，共70分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
設雙曲線C：
的離心率e=2，經過雙曲線的右焦點F且斜率為
的直線交雙曲線于A、B點，若
，求此時的雙曲線方程。
18．（本小題滿分14分，第一小問滿分7分，第二小問滿分7分）
已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在點
處取得極小值－5，其導函數
的圖象經過點（0，0），（2，0），
(Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求x0及函數f（x）的表達式。
19．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）
如圖，O，P分別是正四棱柱ABCD－A1B
(Ⅰ)求證：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）當k＝
時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？
 |
20．（本小題滿分16分，第一小問5分，第二小問滿分5分，第三小問滿分6分）
對于函數y=
(
)( 
D，D為函數定義域)，若同時滿足下列條件：
① f()在定義域內單調遞增或單調遞減；
②
存在區間[a ，b]
，使
()在[a ，b]上的值域是[a ，b]。
那么把
= ()(x
稱為閉函數．
(Ⅰ) 求閉函數 = ?3符合條件②的區間[a，b]；
(Ⅱ)判定函數()= 
是否為閉函數？并說明理由；
(Ⅲ) 若
=
是閉函數，求實數
的取值范圍
21．（本小題滿分14分，第一小問滿分7分，第二小問滿分7分）
已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，且f '(1)=0．
（Ⅰ)求函數f(x)的表達式；
（Ⅱ)設數列{an}滿足條件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)。
求證：(a1－ a2)?(a3－1)+(a2－ a3)?(a4－1)+…+(an－ an+1)?(an+2－1)＜1
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設，得
，
，
，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為 
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，則b2=3，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設AA1=a，則AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐
為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為
的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上為減函數，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是減函數；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．
………… 10分
(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=
的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k
時，
解得：
，∴ 
；
當
時，
這時
無解．
所以 k的取值范圍是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
參考答案
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設，得，，，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，則
，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是減函數；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．
………… 10分
(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k時，解得：，∴ ；
當時，這時無解．
所以 k的取值范圍是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
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